Кристофер Денингер - Christopher Deninger

Кристофер Денингер
Родился	(1958-04-08) 8 апреля 1958 г. (62 года)
Альма-матер	Кельнский университет
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Университет Мюнстера
Докторант	Курт Мейер
Докторанты	Аннетт Хубер-Клавиттер Аннетт Вернер[1]

Кристофер Денингер (родился 8 апреля 1958 г.) Немецкий математик на Университет Мюнстера. Исследования Денингера сосредоточены на арифметическая геометрия, включая приложения к L-функции.

Карьера

Денингер получил свой докторская степень от Кельнский университет в 1982 г. под руководством Курт Мейер. В 1992 году он разделил Премия Готфрида Вильгельма Лейбница с участием Майкл Рапопорт, Питер Шнайдер и Томас Зинк. В 1998 году он был пленарный спикер Международного конгресса математиков в 1998 году в Берлине.^[2] В 2012 году он стал членом Американское математическое общество.^[3]

Математическая работа

Двойственность Артина – Вердье

В серии работ между 1984 и 1987 гг. Денингер изучал расширения Двойственность Артина – Вердье. Вообще говоря, двойственность Артина – Вердье как следствие теория поля классов, является арифметическим аналогом Двойственность Пуанкаре, а двойственность для когомологии пучков на компактном многообразии. При этом (спектр кольца целых чисел в числовое поле соответствует 3-х коллекторный. После работы Мазур, Денингер (1984) расширил двойственность Артина – Вердье до функциональные поля. Затем Денингер распространил эти результаты в различных направлениях, таких как пучки без кручения (1986 ), арифметические поверхности (1987 ), а также многомерные местные поля (с Вингбергом, 1986 ). Появление Блоха мотивационные комплексы рассмотренные в последних работах повлияли на работы нескольких авторов, в том числе Гейссер (2010), который идентифицировал комплексы Блоха как дуализирующие комплексы над многомерными схемами.

Особые ценности L-функции

Другая группа работ Денингера изучает L-функции и их особые ценности. Классический пример L-функция - это Дзета-функция Римана ζ (s), для которых такие формулы, как

ζ (2) = π² / 6

известны со времен Эйлера. В знаменательной статье Бейлинсон (1984) выдвинул ряд далеко идущих гипотез, описывающих особые ценности L-функции, т.е. значения L-функции с целыми числами. Если очень грубо, Гипотезы Бейлинсона утверждают, что для гладкого проективного алгебраическое многообразие Икс над Q, мотивационные когомологии из Икс должен быть тесно связан с Когомологии Делиня из Икс. Кроме того, связь между этими двумя теориями когомологий должна объяснять, согласно гипотезе Бейлинсона, порядки полюсов и значения

L(час^п(Икс), s)

Любые два из трех Кольца Борромео можно развести, но три кольца связаны. Произведение Мэсси трех классов когомологий, полученное путем наматывания на каждый круг, можно использовать для алгебраической фиксации этого явления.

в целых числах s. Блох и Бейлинсон доказали существенные части этой гипотезы для час¹(Икс) в случае, когда Икс является эллиптическая кривая с участием комплексное умножение и s= 2. В 1988, Deninger & Wingberg представили этот результат. В 1989 и 1990, Денингер распространил этот результат на некоторые эллиптические кривые, рассмотренные Шимурой, вообще s≥2. Денингер и Нарт (1995 ) выразил рост пары, ключевой ингредиент гипотезы Бейлинсона, как естественное сочетание Ext-группы в определенной категории мотивов. В 1995, Денингер изучал Продукция Massey в когомологиях Делиня и на основании этого предположил формулу для специального значения для L-функция эллиптическая кривая в s= 3, что впоследствии было подтверждено Гончаров (1996). По состоянию на 2018 год гипотеза Бейлинсона все еще широко открыта, и вклад Денингера остается одним из немногих случаев, когда гипотеза Бейлинсона была успешно опровергнута (опросы по этой теме включают Денингер и Шолль (1991), Нековарж (1994) ).

L-функции через регуляризованные детерминанты

Ζ-функция Римана определяется с помощью произведение факторов Эйлера

${\displaystyle \zeta _{p}(s):={\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

для каждого простого числа п. Чтобы получить функциональное уравнение для ζ (s) необходимо умножить их на дополнительный член, включающий Гамма-функция:

${\displaystyle \zeta _{\infty }(s):=2^{-1/2}\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2).}$

Более общий L-функции также определяются произведениями Эйлера, включающими в каждом конечном месте определитель Эндоморфизм Фробениуса действующий на l-адические когомологии некоторых разнообразие Икс / Q, а множитель Эйлера для бесконечного места согласно Серр, произведения гамма-функций в зависимости от Структуры Ходжа прикреплен к Икс / Q. Денингер (1991) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFDeninger1991 (Помогите) выразил эти Γ-факторы через регуляризованные детерминанты и двинулся дальше, в 1992 и в большей степени в 1994, чтобы объединить факторы Эйлера L-функции в конечных и бесконечных местах с использованием регуляризованных определителей. Например, для факторов Эйлера дзета-функции Римана это единообразное описание выглядит так:

${\displaystyle \zeta _{p}(s)=\det {}_{\infty }\left({\frac {1}{2\pi }}(s-\Theta )|R_{p})\right)^{-1}.}$

Вот п является либо простым числом, либо бесконечностью, соответствующими неархимедовым факторам Эйлера и архимедовым факторам Эйлера соответственно, и р_п - пространство конечных действительных рядов Фурье на р/бревно(п)Z для простого числа п, и р_∞ = р[ехр (−2у)]. Наконец, Θ - производная от р-действие, заданное смещением таких функций.Денингер (1994) также продемонстрировали аналогичный унифицирующий подход для ε-факторов (которые выражают соотношение между завершенными L-функции на s а при 1−s).

Арифметический сайт

Эти результаты привели Денингера к предложению программы, касающейся существования «арифметического сайта». Y связаны с компактификация из Спецификация Z. Помимо прочего, этот сайт будет оборудован действие из р, и каждое простое число п соответствовала бы замкнутой орбите р-действие длины журнала (п). Более того, аналогии между формулами аналитической теории чисел и динамикой на слоистые пространства привел Денингера к предположению о существовании слоения на этом сайте. Более того, предполагается, что этот сайт наделен бесконечномерной теорией когомологий, такой что L-функция мотива M дан кем-то

${\displaystyle L(M,s)=\prod _{i=0}^{2}\det {}_{\infty }\left({\frac {1}{2\pi }}(s-\Theta )|H_{c}^{i}(Y,F(M))\right).}$

Вот M это мотив, например, мотивы час^п(Икс), входящего в гипотезу Бейлинсона, и F(M) задумывается как пучок на Y привязанный к мотиву M. Оператор Θ - это бесконечно малый генератор из поток предоставленный р-действие. В Гипотеза Римана будет, согласно этой программе, следствием свойств, параллельных положительности спаривания пересечений в Теория Ходжа. Версия Формула следа Лефшеца на этом сайте, что могло бы быть частью этой предположительной установки, было доказано другими способами Денингер (1993). В 2010, Денингер доказал, что классические гипотезы Бейлинсона и Блоха относительно теория пересечений из алгебраические циклы будут дальнейшие последствия его программы.

Эта программа была рассмотрена Денингером в его выступлениях на Европейский конгресс математиков в 1992, на Международный конгресс математиков в 1998, а также Лейхтнам (2005). В 2002, Денингер построил расслоенное пространство, соответствующее эллиптическая кривая через конечное поле, и Хессельхольт (2016) показал, что дзета-функция Хассе-Вейля гладкого собственного многообразия над F_п можно выразить с помощью регуляризованных детерминант, включающих топологические гомологии Хохшильда. Кроме того, аналогия между узлами и простыми числами плодотворно изучалась в арифметическая топология. Однако с 2018 года построение слоеного пространства, соответствующего Spec Z остается неуловимым.

Векторные пучки на п-адические кривые

Серия совместных работ с Аннетт Вернер исследует векторные пакеты на п-адические кривые. Классический результат, мотивирующий это исследование, - это Теорема Нарасимхана – Сешадри, краеугольный камень Переписка Симпсона. Он утверждает, что векторное расслоение на компакте Риманова поверхность Икс является стабильный если это происходит из унитарное представительство из фундаментальная группа π₁(Икс).

В Денингер и Вернер (2005) создал п-адический аналог этого: для гладкого проективного алгебраическая кривая над C_п, полученная заменой базы из ${\displaystyle X/{\overline {\mathbf {Q} }}_{p}}$, они построили действие этальная фундаментальная группа π₁(X) на слоях некоторых векторных расслоений, в том числе степени 0 и имеющих потенциально сильно полустабильную редукцию. В другой статье 2005, они связали полученные представления фундаментальной группы кривой Икс с представлениями Модуль Тейт из Якобиева многообразие из Икс. В 2007 и 2010 они продолжили эту работу, показав, что такие векторные расслоения образуют Категория таннакиана что сводится к отождествлению этого класса векторных расслоений как категории представлений определенной группы.

Слоения и группа Гейзенберга

В нескольких совместных работах Денингер и Вильгельм Сингхоф изучали частные п-размерный Группа Гейзенберга ЧАС по стандарту решетка состоящий из целочисленных матриц,

Икс = ЧАС / Γ,

с разных точек зрения. В 1984, они вычислили е-инвариант из Икс через ζ (-п), что приводит к построению элементов в стабильные гомотопические группы сфер произвольно большого порядка. В 1988, они использовали методы аналитическая теория чисел дать оценки размерности когомология из нильпотентные алгебры Ли.

Классический факт из Теория Ходжа что любой класс когомологий на кэлеровом многообразии допускает единственное гармонический был обобщен Альварес Лопес и Кордюков (2001) к римановой слоения. Денингер и Сингхоф (2001) покажем, что слоения на указанном выше пространстве Икс, удовлетворяющие лишь немного более слабым условиям, не допускают таких теоретических свойств Ходжа. В другой совместной работе от 2001, они установили динамическую формулу следа Лефшеца: она связывает след оператора на гармонических формах с локальными следами, появляющимися на замкнутых орбитах (на некоторых слоеных пространствах с р-действие). Этот результат служит подтверждением упомянутой выше программы Денингера в том смысле, что он проверяет предсказание, сделанное этой программой с аналитической стороны, то есть предсказание о динамике на слоеных пространствах.

Энтропия и меры Малера

Другая группа статей Денингера вращается вокруг космоса.

${\displaystyle X_{f}:=(\mathbf {Z} \Gamma /\mathbf {Z} \Gamma f){\widehat {\ }}\ ,}$

где Γ - дискретная группа, ж является элементом его групповое кольцо ZΓ, а шляпа обозначает Понтрягин дуальный. Для Γ = Z^п и ${\displaystyle f\in \mathbb {Z} [x_{1}^{\pm 1},\dots ,x_{n}^{\pm n}]}$, Линд, Шмидт и Уорд (1990) показал, что энтропия Γ-действия на Икс_ж дается Мера Малера

${\displaystyle m(f):=(2\pi i)^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}/\Gamma }\log |f(z_{1},\dots ,z_{n})|{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\dots {\frac {dz_{n}}{z_{n}}}.}$

Более того, было известно, что меры Малера некоторых многочленов могут быть выражены через специальные значения некоторых L-функций. В 1997 Денингер заметил, что подынтегральное выражение в определении меры Малера имеет естественное объяснение в терминах когомологий Делиня. Используя известные случаи гипотезы Бейлинсона, он пришел к выводу, что м(ж) - изображение символа {ж, т₁, ..., т_п} под регулятором Бейлинсона, где разнообразие - это дополнение в п-размерный тор нулевого набора ж. Это привело к концептуальному объяснению вышеупомянутых формул для мер Малера. Бессер и Денингер (1999) и Денингер позже в 2009 перенесли эти идеи в п-адический мир, заменив карту регулятора Бейлинсона на когомологии Делиня картой регулятора на синтомические когомологии, а логарифм, фигурирующий в определении энтропии как п-адический логарифм.

В 2006 и 2007, Денингер и Клаус Шмидт подтолкнул параллель между энтропией и мерами Малера за пределы абелевых групп, а именно финитно аппроксимируемых, счетных дискретных приемлемые группы Γ. Они показали, что Γ-действие на Икс_ж является обширный если и только если ж обратима в L¹-сверточная алгебра группы Γ. Кроме того, логарифм Определитель Фугледе-Кадисона на алгебра фон Неймана NΓ, ассоциированный с Γ (который заменяет меру Малера для Z^п) соглашается с энтропия вышеуказанного действия.

Векторы Витта

Иоахим Кунц и Денингер вместе работали над Векторы Витта. В двух статьях около 2014 г. они упростили теорию, представив кольцо векторов Витта в терминах пополнения моноидная алгебра Zр. Этот подход позволяет избежать универсальных многочленов, используемых в классическом определении сложения векторов Витта.

Избранная библиография

Двойственность Артина – Вердье

• Денингер, Кристофер (1984), "О двойственности Артина – Вердье для функциональных полей", Mathematische Zeitschrift, 188 (1): 91–100, Дои:10.1007 / BF01163876, МИСТЕР  0767366
• - (1986), «Расширение двойственности Артина – Вердье на неонторсионные пучки», J. Reine Angew. Математика., 1986 (366): 18–31, Дои:10.1515 / crll.1986.366.18, МИСТЕР  0833011
• -; Вингберг, Кей (1986), "Двойственность Артина – Вердье для п-мерные локальные поля, содержащие высшие алгебраические K-пучки », Журнал чистой и прикладной алгебры, 43 (3): 243–255, Дои:10.1016/0022-4049(86)90066-6, МИСТЕР  0868985
• - (1987), «Двойственность в этальных когомологиях одномерных собственных схем и обобщений», Mathematische Annalen, 277 (3): 529–541, Дои:10.1007 / BF01458330, МИСТЕР  0891590

L-функции и гипотеза Бейлинсона

• -; Вингберг, Кей (1988), "О гипотезах Бейлинсона для эллиптических кривых с комплексным умножением", Гипотезы Бейлинсона об особых значениях L-функции, Перспектива. Математика, 4, Бостон, Массачусетс: Academic Press, МИСТЕР  0944996
• - (1989), "Высшие регуляторы и Гекке" L-ряд мнимых квадратичных полей. Я", Inventiones Mathematicae, 96 (1): 1–69, Bibcode:1989InMat..96 .... 1D, Дои:10.1007 / BF01393970, МИСТЕР  0981737
• - (1990), "Высшие регуляторы и Гекке" L-ряд мнимых квадратичных полей. II ", Анналы математики, Вторая серия, 132 (1): 131–158, Дои:10.2307/1971502, JSTOR  1971502, МИСТЕР  1059937
• -; Шолль, Энтони Дж. (1991), «Гипотезы Беллинсона», L-функции и арифметика (Дарем, 1989), Лондонская математика. Soc. Lecture Note Ser., 153, Cambridge Univ. Press, стр. 173–209, Дои:10.1017 / CBO9780511526053.007, ISBN  9780521386197, МИСТЕР  1110393

• - (1991), «О Г-факторах, связанных с мотивами», Inventiones Mathematicae, 104 (2): 245–261, Дои:10.1007 / BF01245075, МИСТЕР  1098609
• - (1992), «Местный L-факторы мотивов и регуляризованные детерминанты », Inventiones Mathematicae, 107 (1): 135–150, Bibcode:1992InMat.107..135D, Дои:10.1007 / BF01231885, МИСТЕР  1135468
• — (1993), «Формулы следов Лефшеца и явные формулы в аналитической теории чисел», Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 1993 (441): 1–15, Дои:10.1515 / crll.1993.441.1, Zbl  0782.11034
• - (1994a), "Мотивные ε-факторы на бесконечности и регуляризованные измерения", Indag. Математика. (Н.С.), 5 (4): 403–409, Дои:10.1016/0019-3577(94)90015-9, МИСТЕР  1307961
• - (1994b), "Мотивик" L-функции и регуляризованные детерминанты », Мотивы (Сиэтл, Вашингтон, 1991), Proc. Симпози. Чистая математика., 55, Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc., МИСТЕР  1265547
• - (1994c), «Доказательства когомологического подхода к аналитической теории чисел», Первый Европейский математический конгресс, Vol. Я (Париж, 1992), Прогр. Математика, 119, Birkhäuser, Basel, стр. 491–510, МИСТЕР  1341834
• -; Нарт, Энрик (1995), "На Ext² мотивов над арифметическими кривыми », Амер. J. Math., 117 (3): 601–625, Дои:10.2307/2375082, JSTOR  2375082, МИСТЕР  1333938
• - (1995), "Операции высшего порядка в когомологиях Делиня", Изобретать. Математика., 120 (2): 289–315, Bibcode:1995InMat.120..289D, Дои:10.1007 / BF01241130, МИСТЕР  1329043
• - (1998), «Некоторые аналогии между теорией чисел и динамическими системами на слоеных пространствах», Труды Международного конгресса математиков, Vol. Я (Берлин, 1998), Documenta Mathematica (Extra Vol. I), стр. 163–186, МИСТЕР  1648030
• - (2002), «О природе« явных формул »в аналитической теории чисел --- простой пример», Теоретико-числовые методы (Iizuka, 2001), Dev. Математика, 8, Дордрехт: Kluwer Acad. Publ., Pp. 97–118, arXiv:математика / 0204194, Дои:10.1007/978-1-4757-3675-5_7, ISBN  978-1-4419-5239-4, МИСТЕР  1974137
• - (2010), «Стратегия Гильберта-Пойа и пары высот», Сила Казимира, операторы Казимира и гипотеза Римана, Вальтер де Грюйтер, Берлин, стр. 275–283, МИСТЕР  2777722

п-адические векторные расслоения

• -; Вернер, Аннетт (2005), "Векторные пакеты на п-адические кривые и параллельный транспорт », Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, Quatrième Série, 38 (4): 553–597, Дои:10.1016 / j.ansens.2005.05.002, МИСТЕР  2172951
• -; Вернер, Аннетт (2005), «Линия пучков и п-адические персонажи ", Числовые поля и функциональные поля - два параллельных мира, Прогр. Математика, 239, стр. 101–131, arXiv:математика / 0407511, Дои:10.1007/0-8176-4447-4_7, ISBN  978-0-8176-4397-3, МИСТЕР  2176589
• -; Вернер, Аннетт (2007), "О двойственности Таннаки для векторных расслоений на п-адические кривые ", Алгебраические циклы и мотивы. Vol. 2, Лондонская математика. Soc. Lecture Note Ser., 344, стр. 94–111, МИСТЕР  2187151
• -; Вернер, Аннетт (2010), «Векторные расслоения на п-адические кривые и параллельный перенос II », Алгебраические и арифметические структуры пространств модулей (Саппоро 2007), Adv. Stud. Чистая математика., 58, стр. 1–26, Дои:10.2969 / aspm / 05810001, МИСТЕР  2676155

Группа Гейзенберга, алгебры Ли и слоения

• -; Сингхоф, Вильгельм (1984), "The е-инвариантный и спектр лапласиана для компактных нильмногообразий, покрываемых группами Гейзенберга », Inventiones Mathematicae, 78 (1): 101–112, Bibcode:1984InMat..78..101D, Дои:10.1007 / BF01388716, МИСТЕР  0762355
• -; Сингхоф, Вильгельм (1988), "О когомологиях нильпотентных алгебр Ли", Бык. Soc. Математика. Франция, 116 (1): 3–14, Дои:10.24033 / bsmf.2087, МИСТЕР  0946276
• -; Сингхоф, Вильгельм (2001), "Контрпример к гладкому послойному разложению Ходжа для общих слоений и к типу формул динамического следа", Анна. Inst. Фурье (Гренобль), 51 (1): 209–219, Дои:10.5802 / aif.1821, МИСТЕР  1821074
• -; Сингхоф, Вильгельм (2001b), "Заметка о формулах динамических следов", Динамические, спектральные и арифметические дзета-функции (Сан-Антонио, Техас, 1999), Contemp. Математика, 290, AMS, стр. 41–55, Дои:10.1090 / conm / 290/04572, МИСТЕР  1868467

Энтропия

• - (1997), «Делинские периоды смешанных мотивов», K-теория и энтропия определенных Z^п-действия », Журнал Американского математического общества, 10 (2): 259–281, Дои:10.1090 / S0894-0347-97-00228-2, МИСТЕР  1415320
• - (2006), «Определители Фугледе-Кадисона и энтропия для действий дискретных аменабельных групп», Журнал Американского математического общества, 19 (3): 737–758, arXiv:математика / 0502233, Дои:10.1090 / S0894-0347-06-00519-4, МИСТЕР  2220105

• -; Шмидт, Клаус (2007), "Расширяющие алгебраические действия дискретных финитно аппроксимируемых аменабельных групп и их энтропия", Эргодическая теория и динамические системы, 27 (3): 769–786, arXiv:математика / 0605723, Дои:10.1017 / S0143385706000939, МИСТЕР  2322178

• Бессер, Амнон; Денингер, Кристофер (1999) "п-адические меры Малера », Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 1999 (517): 19–50, Дои:10.1515 / crll.1999.093, МИСТЕР  1728549
• — (2009), "п-адическая энтропия и п-адический определитель Фугледе-Кадисона ", Алгебра, арифметика и геометрия: имени Ю. И. Манин. Vol. я, Прогр. Математика, 269, Birkhäuser, стр. 423–442, arXiv:математика / 0608539, Дои:10.1007/978-0-8176-4745-2_10, ISBN  978-0-8176-4744-5, МИСТЕР  2641178

Векторы Витта

• Кунц, Иоахим; Денингер, Кристофер (2015), "Векторные кольца Витта и относительный комплекс де Рама Витта", Журнал алгебры, 440: 545–593, arXiv:1410.5249, Дои:10.1016 / j.jalgebra.2015.05.029, МИСТЕР  3373405
• Кунц, Иоахим; Денингер, Кристофер (2014), «Альтернатива векторам Витта», Мюнстерский математический журнал, 7 (1): 105–114, arXiv:1311.2774, Bibcode:2013arXiv1311.2774C, Дои:10.1080/18756891.2013.858905, МИСТЕР  3271241

использованная литература

1. Кристофер Денингер на Проект "Математическая генеалогия"
2. Денингер, Кристофер (1998). «Некоторые аналогии между теорией чисел и динамическими системами на слоеных пространствах». Док. Математика. (Билефельд) Extra Vol. ICM Berlin, 1998, т. я. С. 163–186.
3. Список членов Американского математического общества, получено 10 ноября 2012.

• Альварес Лопес, Хесус; Кордюков, Юрий А. (2001), "Поведение послойного теплового потока для римановых слоений при длительном времени", Compositio Mathematica, 125 (2): 129–153, Дои:10.1023 / А: 1002492700960, МИСТЕР  1815391
• Бейлинсон, А.А. (1984), «Высшие регуляторы и ценности L-функции », Современные проблемы математики, Вып. 24, Итоги науки и техники, М .: Акад. Наук СССР, Всесоюз. Inst. Научн. и Техн. Сообщить., МИСТЕР  0760999
• Гейссер, Томас (2010), «Двойственность через циклические комплексы», Анналы математики, Вторая серия, 172 (2): 1095–1127, Дои:10.4007 / анналы.2010.172.1095, МИСТЕР  2680487
• Гончаров, А. (1996), "Гипотеза Денинджера о L-функции эллиптических кривых при s=3", Журнал математических наук, 81 (3): 2631–2656, Дои:10.1007 / BF02362333, МИСТЕР  1420221
• Хессельхольт, Ларс (2016), Топологические гомологии Хохшильда и дзета-функция Хассе-Вейля, Современная математика, 708, стр. 157–180, arXiv:1602.01980, Bibcode:2016arXiv160201980H, Дои:10.1090 / conm / 708/14264, ISBN  9781470429119
• Лейхтнам, Эрик (2005), «Приглашение к работе Денингера над арифметическими дзета-функциями», Геометрия, спектральная теория, группы и динамика, Contemp. Математика, 387, Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc., Стр. 201–236, Дои:10.1090 / conm / 387/07243, ISBN  9780821837108, МИСТЕР  2180209
• Линд, Дуглас; Шмидт, Клаус; Уорд, Том (1990), «Мера Малера и энтропия для коммутирующих автоморфизмов компактных групп» (PDF), Inventiones Mathematicae, 101 (3): 593–629, Bibcode:1990InMat.101..593L, Дои:10.1007 / BF01231517, МИСТЕР  1062797
• Нековарж, Ян (1994), "Гипотезы Беллинсона", Мотивы (Сиэтл, Вашингтон, 1991), Proc. Симпози. Чистая математика., 55, Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc., МИСТЕР  1265544

внешние ссылки

• Веб-сайт Мюнстерского университета