Арифметическая поверхность - Arithmetic surface

В математике арифметическая поверхность через Дедекиндский домен р с поле дроби ${ displaystyle K}$ геометрический объект, имеющий одно обычное измерение и одно другое измерение, обеспечиваемое бесконечность простых чисел. Когда р это кольцо целых чисел Zэта интуиция зависит от простой идеальный спектр Спецификация (Z) рассматривается как аналог линии. Арифметические поверхности естественным образом возникают в диофантова геометрия, когда алгебраическая кривая определяется по K считается сокращением по полям р/п, куда п это главный идеал р, за почти все п; и помогают определить, что должно произойти в процессе сокращения до р/п когда самый наивный способ не имеет смысла.

Такой объект можно более формально определить как R-схема с неособым, связаны проективная кривая ${ displaystyle C / K}$ для обычное волокно и соединения кривых (возможно сводимый, единственное число, несокращенный ) над соответствующими поле вычетов за специальные волокна.

Формальное определение

Более подробно арифметическая поверхность ${ displaystyle S}$ (по Дедекиндовскому домену ${ displaystyle R}$ ) это схема с морфизм ${ displaystyle p: S rightarrow mathrm {Spec} (R)}$ со следующими свойствами: ${ displaystyle S}$ является интеграл, нормальный, отлично, плоский и из конечный тип над ${ displaystyle R}$ а общий слой является неособой связной проективной кривой над ${ displaystyle mathrm {Frac} (R)}$ и для других ${ displaystyle t}$ в ${ displaystyle mathrm {Spec} (R)}$ ,

{ Displaystyle S { underset { mathrm {Spec} (R)} { times}} mathrm {Spec} (k_ {t})}

представляет собой объединение кривых над ${ displaystyle R / t}$ .^[1]

По схеме Дедекинда

В еще более общем смысле арифметические поверхности могут быть определены над схемами Дедекинда, типичным примером которых является спектр кольцо целых чисел числового поля (как в случае выше). Тогда арифметическая поверхность - это правильная расслоенная поверхность над схемой Дедекинда размерности один.^[2] Это обобщение полезно, например, оно позволяет использовать базовые кривые, которые являются гладкими и проективными над конечными полями, что важно для положительной характеристики.

Что делает их «арифметическими»?

Арифметические поверхности над дедекиндовыми областями являются арифметическим аналогом расслоенных поверхностей над алгебраическими кривыми.^[1] Арифметические поверхности возникают прежде всего в контексте теории чисел.^[3] Фактически, учитывая кривую ${ displaystyle X}$ над числовым полем ${ displaystyle S}$ , существует арифметическая поверхность над кольцом целых чисел ${ displaystyle O_ {K}}$ общий слой которого изоморфен ${ displaystyle X}$ . В более высоких измерениях можно также рассмотреть арифметические схемы.^[3]

Характеристики

Измерение

Арифметические поверхности имеют размер 2 и относительный размер 1 над их основанием.^[1]

Делители

Мы можем разработать теорию Дивизоры Вейля на арифметических поверхностях, поскольку каждое локальное кольцо размерности один регулярно. Это кратко формулируется как «арифметические поверхности регулярны в коразмерности один».^[1] Эта теория, например, разработана в «Алгебраической геометрии» Хартшорна.^[4]

Примеры

Проективная линия

В проективная линия над Дедекиндовым доменом ${ displaystyle R}$ это гладкий, правильный арифметическая поверхность над ${ displaystyle R}$ . Волокно над любым максимальным идеалом ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ - проективная прямая над полем ${ displaystyle R / { mathfrak {m}}.}$ ^[5]

Обычные минималистичные модели

Модели Néron за эллиптические кривые, первоначально определенная над глобальное поле, являются примерами этой конструкции и хорошо изученными примерами арифметических поверхностей.^[6] Есть сильные аналогии с эллиптические расслоения.

Теория пересечения

Имея два различных неприводимых делителя и замкнутую точку на специальном слое арифметической поверхности, мы можем определить локальный индекс пересечения делителей в этой точке, как и для любой алгебраической поверхности, а именно как размерность некоторого частного локального кольцо в точку.^[7] Идея состоит в том, чтобы добавить эти локальные индексы, чтобы получить глобальный индекс пересечения. Теория начинает расходиться с теорией алгебраических поверхностей, когда мы пытаемся обеспечить, чтобы линейные эквивалентные делители давали один и тот же индекс пересечения, который будет использоваться, например, при вычислении индекса пересечения делителей с самим собой. Это не работает, когда базовая схема арифметической поверхности не является «компактной». Фактически, в этом случае линейная эквивалентность может сдвинуть точку пересечения на бесконечность.^[8] Частичным решением этой проблемы является ограничение набора делителей, которые мы хотим пересечь, в частности, принуждение хотя бы к одному делителю быть «фибральным» (каждый компонент является компонентом специального слоя) позволяет нам определить уникальную пару пересечений, имеющую это собственность, среди других желаемых.^[9] Полное разрешение дает теория Аракелова.

Теория аракелова

Теория аракелова предлагает решение проблемы, представленной выше. Интуитивно понятно, что волокна добавляются бесконечно, добавляя по волокну для каждого архимедова абсолютная величина группы K. Тогда можно определить локальную пару пересечений, которая продолжается до полной группы дивизоров, с желаемой инвариантностью относительно линейной эквивалентности.^[10]

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б ^c ^d Сильверман, Дж. Дополнительные вопросы по арифметике эллиптических кривых. Спрингер, 1994, стр. 311.
^ Лю, К. Алгебраическая геометрия и арифметические кривые. Oxford University Press, 2002, глава 8.
^ ^а ^б Эйзенбуд Д. и Харрис Дж. Геометрия схем. Springer-Verlag, 1998, стр. 81.
^ Хартсхорн, Р. Алгебраическая геометрия. Springer-Verlang, 1977, стр. 130.
^ Сильверман, Дж. Дополнительные вопросы по арифметике эллиптических кривых. Спрингер, 1994, стр. 312.
^ Сильверман, Дж. Дополнительные вопросы по арифметике эллиптических кривых. Springer, 1994, Глава IV.
^ Сильверман, Дж. Дополнительные вопросы по арифметике эллиптических кривых. Спрингер, 1994, стр. 339.
^ Сильверман, Дж. Дополнительные вопросы по арифметике эллиптических кривых. Спрингер, 1994, стр. 340.
^ Сильверман, Дж. Дополнительные вопросы по арифметике эллиптических кривых. Спрингер, 1994, стр. 341.
^ Сильверман, Дж. Дополнительные вопросы по арифметике эллиптических кривых. Спрингер, 1994, стр. 344.