Мера Малера - Mahler measure

В математика, то Мера Малера ${\displaystyle M(p)}$ из многочлен ${\displaystyle p(z)}$ с сложный коэффициенты определяется как

${\displaystyle M(p)=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|=|a|\prod _{i=1}^{n}\max\{1,|\alpha _{i}|\},}$

куда ${\displaystyle p(z)}$ факторизуется по комплексным числам ${\displaystyle \mathbb {C} }$ в качестве

${\displaystyle p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n}).}$

Меру Малера можно рассматривать как своего рода функция высоты. С помощью Формула Дженсена, можно доказать, что эта мера также равна среднее геометрическое из ${\displaystyle |p(z)|}$ за ${\displaystyle z}$ на единичный круг (т.е. ${\displaystyle |z|=1}$):

${\displaystyle M(p)=\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\ln(|p(e^{i\theta })|)\,d\theta \right).}$

В более широком смысле Мера Малера алгебраическое число ${\displaystyle \alpha }$ определяется как мера Малера минимальный многочлен из ${\displaystyle \alpha }$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. В частности, если ${\displaystyle \alpha }$ это Номер Писо или Номер Салема, то его мера Малера просто ${\displaystyle \alpha }$.

Мера Малера названа в честь австралийца немецкого происхождения. математик Курт Малер.

Характеристики

• В Мера Малера мультипликативно: ${\displaystyle \forall p,q,\,\,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q).}$
• ${\displaystyle M(p)=\lim _{\tau \rightarrow 0}\|p\|_{\tau }}$ куда ${\displaystyle \,\|p\|_{\tau }=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|p(e^{i\theta })|^{\tau }\,d\theta \right)^{1/\tau }\,}$ это ${\displaystyle L_{\tau }}$ норма из ${\displaystyle p}$.^[1]
• Теорема Кронекера: Если ${\displaystyle p}$ является неприводимым моническим целочисленным многочленом с ${\displaystyle M(p)=1}$, то либо ${\displaystyle p(z)=z,}$ или же ${\displaystyle p}$ это циклотомический многочлен.
• (Гипотеза Лемера ) Есть постоянный ${\displaystyle \mu >1}$ так что если ${\displaystyle p}$ - неприводимый целочисленный многочлен, то либо ${\displaystyle M(p)=1}$ или же ${\displaystyle M(p)>\mu }$.
• Мера Малера монического целочисленного многочлена - это Число Перрона.

Многомерная мера Малера

Мера Малера ${\displaystyle M(p)}$ многочлена с несколькими переменными ${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ определяется аналогично формулой^[2]

${\displaystyle M(p)=\exp \left({\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\log {\Bigl (}{\bigl |}p(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}){\bigr |}{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n}\right).}$

Он наследует указанные выше три свойства меры Малера для многочлена от одной переменной.

Было показано, что мера Малера с несколькими переменными в некоторых случаях связана со специальными значениями дзета-функции и ${\displaystyle L}$-функции. Например, в 1981 году Смит^[3] доказал формулы

${\displaystyle m(1+x+y)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2)}$

куда ${\displaystyle L(\chi _{-3},s)}$ это L-функция Дирихле, и

${\displaystyle m(1+x+y+z)={\frac {7}{2\pi ^{2}}}\zeta (3),}$

куда ${\displaystyle \zeta }$ это Дзета-функция Римана. Здесь ${\displaystyle m(P)=\log M(P)}$ называется логарифмическая мера Малера.

Некоторые результаты Лоутона и Бойда

Из определения мера Малера рассматривается как интегральные значения многочленов по тору (см. Также Гипотеза Лемера ). Если ${\displaystyle p}$ исчезает на торе ${\displaystyle (S^{1})^{n}}$, то сходимость интеграла, определяющего ${\displaystyle M(p)}$ неочевидно, но известно, что ${\displaystyle M(p)}$ сходится и равна пределу мер Малера с одной переменной,^[4] что было предположено Бойд.^[5][6]

Это формулируется следующим образом: Пусть ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ обозначим целые числа и определим ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}^{N}=\{r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}:r_{j}\geq 0\ {\text{for}}\ 1\leq j\leq N\}}$ . Если ${\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})}$ является многочленом от ${\displaystyle N}$ переменные и ${\displaystyle r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} _{+}^{N}}$ определить многочлен ${\displaystyle Q_{r}(z)}$ одной переменной на

${\displaystyle Q_{r}(z):=Q(z^{r_{1}},\dots ,z^{r_{N}})}$

и определить ${\displaystyle q(r)}$ к

${\displaystyle q(r):={\text{min}}\{H(s):s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N},s\neq (0,\dots ,0)\ {\text{and}}\ \sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\}}$

куда ${\displaystyle H(s)={\text{max}}\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}}$ .

Теорема (Лоутон) : Позволять ${\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})}$ быть полиномом от N переменные с комплексными коэффициентами. Тогда имеет место следующий предел (даже если условие, что ${\displaystyle r_{i}\geq 0}$ расслаблен):

${\displaystyle \lim _{q(r)\rightarrow \infty }M(Q_{r})=M(Q)}$

Предложение Бойда

Бойд дал более общие утверждения, чем приведенная выше теорема. Он указал, что классический Теорема Кронекера, который характеризует монические многочлены с целыми коэффициентами, все корни которых находятся внутри единичного круга, можно рассматривать как характеристику тех многочленов от одной переменной, мера которых равна точно 1, и этот результат распространяется на многочлены от нескольких переменных.^[6]

Определить расширенный циклотомический многочлен быть многочленом вида

${\displaystyle \Psi (z)=z_{1}^{b_{1}}\dots z_{n}^{b_{n}}\Phi _{m}(z_{1}^{v_{1}}\dots z_{n}^{v_{n}}),}$

куда ${\displaystyle \Phi _{m}(z)}$ это м-го циклотомический многочлен, то ${\displaystyle v_{i}}$ целые числа, а ${\displaystyle b_{i}=\max(0,-v_{i}\deg \Phi _{m})}$ выбираются минимально так, чтобы ${\displaystyle \Psi (z)}$ является полиномом от ${\displaystyle z_{i}}$. Позволять ${\displaystyle K_{n}}$ - множество многочленов, являющихся произведениями одночленов ${\displaystyle \pm z_{1}^{c_{1}}\dots z_{n}^{c_{n}}}$ и расширенные круговые полиномы.

Теорема (Бойд) : Позволять ${\displaystyle F(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots ,z_{n}]}$ - многочлен с целыми коэффициентами. потом ${\displaystyle M(F)=1}$ если и только если ${\displaystyle F}$ является элементом ${\displaystyle K_{n}}$.

Это побудило Бойда рассмотреть набор ценностей

${\displaystyle L_{n}:={\bigl \{}m(P(z_{1},\dots ,z_{n})):P\in \mathbb {Z} [z_{1},\dots ,z_{n}]{\bigr \}},}$

и союз ${\displaystyle {L}_{\infty }=\bigcup _{n=1}^{\infty }L_{n}}$. Он сделал далеко идущее предположение^[5] что набор ${\displaystyle {L}_{\infty }}$ является замкнутым подмножеством ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Непосредственным следствием этой гипотезы была бы истинность гипотезы Лемера, хотя и без явной нижней оценки. Как показывает результат Смита, ${\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}}$ , Бойд далее предполагает, что

${\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}\subsetneqq L_{3}\subsetneqq \ \cdots \,.}$

Смотрите также

• Bombieri norm
• Высота многочлена

Примечания

1. Хотя это не настоящая норма для значений ${\displaystyle \tau <1}$.
2. Schinzel 2000, п. 224.
3. Смит 2008.
4. Лоутон 1983.
5. Бойд 1981a.
6. Бойд 1981b.

Рекомендации

• Борвейн, Питер (2002). Вычислительные экскурсии по анализу и теории чисел. CMS Книги по математике. 10. Springer. С. 3, 15. ISBN  978-0-387-95444-8. Zbl  1020.12001.

• Бойд, Дэвид (1981а). «Спекуляции относительно диапазона меры Малера». Канад. Математика. Бык. 24 (4): 453–469. Дои:10.4153 / cmb-1981-069-5.

• Бойд, Дэвид (1981b). «Теорема Кронекера и проблема Лемера для многочленов от нескольких переменных». Журнал теории чисел. 13: 116–121. Дои:10.1016 / 0022-314x (81) 90033-0.

• Бойд, Дэвид (2002a). «Мера Малера и инварианты гиперболических многообразий». В Bennett, M.A. (ред.). Теория чисел для тысячелетия. А. К. Петерс. С. 127–143.

• Бойд, Дэвид (2002b). «Мера Малера, гиперболические многообразия и дилогарифм». Заметки Канадского математического общества. 34 (2): 3–4, 26–28.

• Бойд, Дэвид; Родригес Вильегас, Ф. (2002). «Мера Малера и дилогарифм, часть 1». Канадский математический журнал. 54 (3): 468–492. Дои:10.4153 / cjm-2002-016-9.

• «Мера Малера», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994].
• Дженсен, Дж. Л. (1899). "Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions". Acta Mathematica. 22: 359–364. Дои:10.1007 / BF02417878. JFM  30.0364.02.

• Кнут, Дональд Э. (1997). «4.6.2 Факторизация многочленов». Получисловые алгоритмы. Искусство программирования. 2 (3-е изд.). Эддисон-Уэсли. С. 439–461, 678–691. ISBN  978-0-201-89684-8.

• Лоутон, Уэйн М. (1983). «Проблема Бойда о средних геометрических полиномов». Журнал теории чисел. 16 (3): 356–362. Дои:10.1016 / 0022-314X (83) 90063-X. Zbl  0516.12018.

• Моссингхофф, М.Дж. (1998). «Многочлены с малой мерой Малера». Математика вычислений. 67 (224): 1697–1706. Дои:10.1090 / S0025-5718-98-01006-0. Zbl  0918.11056.

• Шинцель, Анджей (2000). Полиномы с особым вниманием к сводимости. Энциклопедия математики и ее приложений. 77. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-66225-3. Zbl  0956.12001.

• Смит, Крис (2008). «Мера Малера алгебраических чисел: обзор». В Макки, Джеймс; Смит, Крис (ред.). Теория чисел и многочлены. Серия лекций Лондонского математического общества. 352. Издательство Кембриджского университета. С. 322–349. ISBN  978-0-521-71467-9. Zbl  1334.11081.

внешняя ссылка

• Мера Малера в MathWorld
• Формула Дженсена в MathWorld