Гипотеза Гильберта – Полиа - Hilbert–Pólya conjecture

В математика, то Гипотеза Гильберта – Полиа возможный подход к Гипотеза Римана, посредством спектральная теория.

История

В письме к Андрей Одлызко от 3 января 1982 г., Георгий Полиа сказал, что пока он был в Гёттинген примерно с 1912 по 1914 год его спросили Эдмунд Ландау по физической причине, что гипотеза Римана должна быть верной, и предположил, что это было бы так, если бы мнимые части т нулей

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+it}$

из Дзета-функция Римана соответствует собственные значения из неограниченный самосопряженный оператор.^[1] Самое раннее опубликованное утверждение гипотезы, по-видимому, находится в Монтгомери (1973).^[1][2]

Дэвид Гильберт не работали в центральных районах аналитическая теория чисел, но его имя стало известно благодаря гипотезе Гильберта – Полиа по анекдотическим причинам.^{[требуется дальнейшее объяснение ]}

1950-е годы и формула следа Сельберга

Во время разговора Поли с Ландау оснований для таких предположений было мало. Однако Сельберг в начале 1950-х годов доказал двойственность длины спектр из Риманова поверхность и собственные значения своего Лапласиан. Это так называемое Формула следа Сельберга имел поразительное сходство с явные формулы, что подтвердило гипотезу Гильберта – Полиа.

1970-е и случайные матрицы

Хью Монтгомери исследовал и обнаружил, что статистическое распределение нулей на критической линии имеет определенное свойство, которое теперь называется Гипотеза парной корреляции Монтгомери. Нули имеют тенденцию не группироваться слишком близко друг к другу, а отталкиваться.^[2] Посещение Институт перспективных исследований в 1972 году он показал этот результат Фриман Дайсон, один из основоположников теории случайные матрицы.

Дайсон увидел, что статистическое распределение, найденное Монтгомери, похоже, совпадает с распределением парной корреляции для собственных значений случайного Эрмитова матрица. Эти распределения важны в физике - собственные состояния из Гамильтониан, например уровни энергии из атомное ядро, удовлетворяю такой статистике. Последующие работы убедительно подтвердили связь между распределением нулей дзета-функции Римана и собственными значениями случайной эрмитовой матрицы, полученной из Гауссовский унитарный ансамбль, и теперь считается, что оба они подчиняются одной и той же статистике. Таким образом, гипотеза Гильберта – Полиа теперь имеет более прочную основу, хотя она еще не привела к доказательству гипотезы Римана.^[3]

Последнее время

В развитии, которое придало существенную силу этому подходу к гипотезе Римана благодаря функциональный анализ, Ален Конн сформулировал формулу следа, которая фактически эквивалентна Гипотеза Римана. Таким образом, это усилило аналогию с Формула следа Сельберга до такой степени, что он дает точные утверждения. Он дает геометрическую интерпретацию явная формула теории чисел как формулу следа на некоммутативная геометрия из Адель классы.^[4]

Возможная связь с квантовой механикой

Возможная связь оператора Гильберта – Полиа с квантовая механика было дано Полей. Оператор гипотезы Гильберта – Полиа имеет вид ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+iH}$ где ${\displaystyle H}$ это Гамильтониан частицы массы ${\displaystyle m}$ движется под влиянием потенциального ${\displaystyle V(x)}$. Гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что гамильтониан Эрмитский, или, что то же самое, ${\displaystyle V}$ это реально.

С помощью теория возмущений в первую очередь, энергия псобственное состояние связано с ожидаемое значение потенциала:

${\displaystyle E_{n}=E_{n}^{0}+\left.\left\langle \varphi _{n}^{0}\right|V\left|\varphi _{n}^{0}\right.\right\rangle }$

где ${\displaystyle E_{n}^{0}}$ и ${\displaystyle \varphi _{n}^{0}}$ являются собственными значениями и собственными состояниями гамильтониана свободной частицы. Это уравнение можно принять за Интегральное уравнение Фредгольма первого рода, с энергиями ${\displaystyle E_{n}}$. Такие интегральные уравнения могут быть решены с помощью резольвентное ядро, так что потенциал можно записать как

${\displaystyle V(x)=A\int _{-\infty }^{\infty }\left(g(k)+{\overline {g(k)}}-E_{k}^{0}\right)\,R(x,k)\,dk}$

где ${\displaystyle R(x,k)}$ - резольвентное ядро, ${\displaystyle A}$ это реальная константа и

${\displaystyle g(k)=i\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-\rho _{n}\right)\delta (k-n)}$

где ${\displaystyle \delta (k-n)}$ это Дельта-функция Дирака, а ${\displaystyle \rho _{n}}$ являются «нетривиальными» корнями дзета-функции ${\displaystyle \zeta (\rho _{n})=0}$.

Майкл Берри и Джонатан Китинг предположили, что гамильтониан ЧАС на самом деле некоторые квантование классического гамильтониана xp, где п это канонический импульс связан с Икс^[5] Простейший эрмитов оператор, соответствующий xp является

${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}(xp+px)=-i\left(x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\right).}$

Это уточнение гипотезы Гильберта – Полиа известно как Гипотеза Берри (или Гипотеза Берри – Китинга). По состоянию на 2008 год, это все еще довольно далеко от конкретности, поскольку неясно, в каком пространстве этот оператор должен действовать, чтобы получить правильную динамику, или как его регуляризировать, чтобы получить ожидаемые логарифмические поправки. Берри и Китинг предположили, что, поскольку этот оператор инвариантен относительно расширение возможно граничное условие ж(nx) = ж(Икс) для целого числа п может помочь получить правильные асимптотические результаты, действительные для больших п

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+i{\frac {2\pi n}{\log n}}.}$^[6]

В марте 2017 года была опубликована статья, написанная Карл М. Бендер, Дордже С. Броуди, и Маркус П. Мюллер,^[7] который основан на подходе Берри к проблеме. Там оператор

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{1-e^{-i{\hat {p}}}}}\left({\hat {x}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {x}}\right)\left(1-e^{-i{\hat {p}}}\right)}$

было введено, которое, как они утверждают, удовлетворяет некоторым модифицированным версиям условий гипотезы Гильберта – Полиа. Жан Беллисар раскритиковал эту статью,^[8] и авторы ответили пояснениями.^[9] Более того, Фредерик Моксли подошел к проблеме с Уравнение Шредингера.^[10]

использованная литература

1. Одлызко Андрей, Переписка об истоках гипотезы Гильберта – Пойа..
2. Монтгомери, Хью Л. (1973), "Парная корреляция нулей дзета-функции", Аналитическая теория чисел, Proc. Симпози. Чистая математика., XXIV, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 181–193, Г-Н  0337821.
3. Рудник, Зеев; Сарнак, Петр (1996), «Нули главных L-функций и теория случайных матриц», Герцогский журнал математики, 81 (2): 269–322, Дои:10.1215 / s0012-7094-96-08115-6.
4. Конн, Ален (1998), "Формула следов в некоммутативной геометрии и нули дзета-функции Римана", arXiv:математика / 9811068.
5. Берри, Майкл В.; Китинг, Джонатан П. (1999a), «H = xp и нули Римана», у Китинга, Джонатана П.; Хмельницкий, Давид Э .; Лернер, Игорь В. (ред.), Формулы суперсимметрии и следов: хаос и беспорядок (PDF), Нью-Йорк: Пленум, стр. 355–367, ISBN  978-0-306-45933-7.
6. Берри, Майкл В.; Китинг, Джонатан П. (1999b), «Нули Римана и асимптотика собственных значений» (PDF), SIAM Обзор, 41 (2): 236–266, Bibcode:1999SIAMR..41..236B, Дои:10.1137 / s0036144598347497.
7. Бендер, Карл М .; Brody, Dorje C .; Мюллер, Маркус П. (2017), "Гамильтониан нулей дзета-функции Римана", Письма с физическими проверками, 118 (13): 130201, arXiv:1608.03679, Bibcode:2017ПхРвЛ.118м0201Б, Дои:10.1103 / PhysRevLett.118.130201, PMID  28409977.
8. Белиссар, Жан (2017), "Комментарий к" гамильтониану нулей дзета-функции Римана"", arXiv:1704.02644 [Quant-ph ]
9. Бендер, Карл М .; Броуди, Дордже К.; Мюллер, Маркус П. (2017), «Комментарий на» Комментарий к «Гамильтониан нулей дзета-функции Римана»'", arXiv:1705.06767 [Quant-ph ].
10. Моксли, Фредерик (2017). «Уравнение Шредингера для решения гипотезы Бендера-Броди-Мюллера». Материалы конференции AIP. 1905: 030024. Bibcode:2017AIPC.1905c0024M. Дои:10.1063/1.5012170.

дальнейшее чтение

• Анева, Б. (1999), «Симметрия оператора Римана» (PDF), Письма по физике B, 450 (4): 388–396, arXiv:0804.1618, Bibcode:1999ФЛБ..450..388А, Дои:10.1016 / s0370-2693 (99) 00172-0.
• Элизальде, Эмилио (1994), Методы регуляризации Zeta с приложениями, World Scientific, ISBN  978-981-02-1441-8. Здесь автор объясняет, в каком смысле проблема Гильберта – Пойа связана с проблемой формулы следа Гуцвиллера и каким будет значение суммы ${\displaystyle \exp(i\gamma )}$ взяты над мнимыми частями нулей.