Арифметическая дзета-функция - Arithmetic zeta function

В математика, то арифметическая дзета-функция это дзета-функция связанный с схема конечного типа над целые числа. Арифметическая дзета-функция обобщает Дзета-функция Римана и Дзета-функция Дедекинда в более высокие измерения. Арифметическая дзета-функция - один из самых фундаментальных объектов теория чисел.

Определение

Арифметическая дзета-функция $ζ Икс (s)$ определяется Произведение Эйлера аналогично Дзета-функция Римана:

{ displaystyle { zeta _ {X} (s)} = prod _ {x} { frac {1} {1-N (x) ^ {- s}}},}

где произведение берется по всем замкнутым точкам $Икс$ схемы $Икс$ . Эквивалентно, продукт находится по всем точкам, поле вычетов конечно. Мощность этого поля обозначается $N (Икс)$ .

Примеры и свойства

Многообразия над конечным полем

Если $Икс$ - спектр конечного поля с $q$ элементы, то

{ displaystyle zeta _ {X} (s) = { frac {1} {1-q ^ {- s}}}.}.

Для разнообразия Икс над конечным полем из формулы следа Гротендика известно, что

{ Displaystyle zeta _ {X} (s) = Z (X, q ^ {- s})}

где ${ Displaystyle Z (X, t)}$ - рациональная функция (т.е. частное от многочленов).

Учитывая две разновидности Икс и Y над конечным полем дзета-функция ${ Displaystyle X раз Y}$ дан кем-то

{ Displaystyle Z (X, t) звезда Z (Y, t) = Z (X раз Y, t),}

где ${ displaystyle star}$ обозначает умножение в кольце ${ Displaystyle W ( mathbf {Z})}$ из Векторы Витта целых чисел.^[1]

Кольцо целых чисел

Если $Икс$ это спектр кольца целых чисел, то $ζ Икс (s)$ - дзета-функция Римана. В более общем смысле, если $Икс$ - спектр кольца целых чисел поля алгебраических чисел, то $ζ Икс (s)$ это Дзета-функция Дедекинда.

Дзета-функции непересекающихся союзов

Дзета-функция аффинный и проективные пространства по схеме $Икс$ даны

{ Displaystyle { begin {align} zeta _ { mathbf {A} ^ {n} (X)} (s) & = zeta _ {X} (sn) zeta _ { mathbf {P } ^ {n} (X)} (s) & = prod _ {i = 0} ^ {n} zeta _ {X} (si) end {выравнивается}}}

Последнее уравнение можно вывести из первого, используя это для любого $Икс$ то есть несвязное объединение замкнутой и открытой подсхемы $U$ и $V$ соответственно

{ Displaystyle zeta _ {X} (s) = zeta _ {U} (s) zeta _ {V} (s).}

В более общем смысле аналогичная формула верна для бесконечных непересекающихся объединений. В частности, это показывает, что дзета-функция $Икс$ является продуктом сокращения $Икс$ по модулю простых чисел $п$ :

{ displaystyle zeta _ {X} (s) = prod _ {p} zeta _ {X_ {p}} (s).}

Такое выражение для каждого простого числа иногда называют Произведение Эйлера и каждый фактор называется фактором Эйлера. Во многих интересных случаях обычное волокно $Икс Q$ является гладкий; плавный. Тогда только конечное число $Икс п$ единичны (плохое сокращение ). Почти для всех простых чисел, а именно, когда $Икс$ имеет хорошее сокращение, фактор Эйлера, как известно, согласуется с соответствующим множителем Дзета-функция Хассе-Вейля из $Икс Q$ . Следовательно, эти две функции тесно связаны.

Основные догадки

Существует ряд предположений относительно поведения дзета-функции регулярный несводимый равноразмерный схема $Икс$ (конечного типа по целым числам). Многие (но не все) из этих гипотез обобщают одномерный случай хорошо известных теорем о дзета-функции Эйлера-Римана-Дедекинда.

Схема не должна быть плоский над $Z$ , в данном случае это схема конечного типа над некоторым $F п$ . Это называется характеристикой $п$ случай ниже. В последнем случае многие из этих гипотез (за наиболее заметным исключением гипотезы Бёрча и Суиннертона-Дайера, т. Е. Изучения особых значений) известны. Очень мало известно о схемах, которые $Z$ и имеют размерность два и выше.

Мероморфное продолжение и функциональное уравнение

Хассе и Вейль предположили, что $ζ Икс (s)$ имеет мероморфное продолжение на комплексную плоскость и удовлетворяет функциональному уравнению относительно $s \to п - s$ где $п$ это абсолютное измерение $Икс$ .

Это доказано для $п = 1$ и некоторые очень частные случаи, когда $п > 1$ для плоских схем над $Z$ и для всех $п$ в положительной характеристике. Это следствие Гипотезы Вейля (точнее, часть гипотезы Римана), что дзета-функция имеет мероморфное продолжение до ${ displaystyle mathrm {Re} (s)> n - { tfrac {1} {2}}}$ .

Обобщенная гипотеза Римана

Согласно обобщенная гипотеза Римана нули $ζ Икс (s)$ предположительно лежат внутри критической полосы $0 \leq Re (s) \leq п$ лежать на вертикальных линиях $Re (s) = 1/2, 3/2, ...$ и полюса $ζ Икс (s)$ внутри критической полосы $0 \leq Re (s) \leq п$ лежать на вертикальных линиях $Re (s) = 0, 1, 2, ...$ .

Это было доказано (Эмиль Артин, Хельмут Хассе, Андре Вайль, Александр Гротендик, Пьер Делинь ) в положительной характеристике для всех $п$ . Это не доказано для любой схемы, плоской над $Z$ . В Гипотеза Римана является частным случаем гипотезы 2.

Полюс приказы

При условии аналитического продолжения порядок нуля или полюса и вычета $ζ Икс (s)$ в целых точках внутри критической полосы можно выразить с помощью важных арифметических инвариантов $Икс$ . Аргумент из-за Серр на основе перечисленных выше элементарных свойств и Нормализация Нётер показывает, что дзета-функция $Икс$ имеет полюс на $s = п$ чей порядок равен количеству неприводимые компоненты из $Икс$ с максимальной размерностью.^[2] Во-вторых, Тейт предполагаемый^[3]

{ Displaystyle mathrm {ord} _ {s = n-1} zeta _ {X} (s) = rk { mathcal {O}} _ {X} ^ { times} (X) -rk mathrm {Pic} (X)}

т.е. столб порядок выражается рангом групп обратимых обычные функции и Группа Пикард. В Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера - частный случай этой гипотезы. Фактически, эта гипотеза Тейта эквивалентна обобщению Берча и Суиннертона-Дайера.

В более общем смысле, Soulé предполагаемый^[4]

{ displaystyle mathrm {ord} _ {s = nm} zeta _ {X} (s) = - sum _ {i} (- 1) ^ {i} rkK_ {i} (X) ^ {(m )}}

Правая часть обозначает собственные подпространства Адамса алгебраический $K$ -теория из $Икс$ . Эти ранги конечны при Гипотеза баса.

Эти предположения известны, когда $п = 1$ , т.е. случай числовых колец и кривые над конечными полями. Что касается $п > 1$ , частные случаи гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера доказаны, но даже в положительной характеристике гипотеза остается открытой.

Методы и теории

Арифметическая дзета-функция регулярной связной равноразмерной арифметической схемы размерности Кронекера $п$ могут быть разложены на произведение соответственно определенных $L$ -факторы и вспомогательный фактор. Следовательно, результаты по $L$ -функции подразумевают соответствующие результаты для арифметических дзета-функций. Однако до сих пор существует очень мало доказанных результатов о $L$ - коэффициенты арифметических схем в нулевой характеристике и размерности 2 и выше. Иван Фесенко инициированный^[5] теория, которая изучает арифметические дзета-функции напрямую, не работая с их $L$ -факторы. Это многомерное обобщение Тезис Тейта, т.е. использует более высокие Адель группы, высший дзета-интеграл и объекты, которые приходят из высших теория поля классов. В этой теории мероморфное продолжение и функциональное уравнение правильных регулярных моделей эллиптических кривых над глобальными полями связано со свойством периодичности в среднем граничной функции.^[6] В его совместной работе с М. Судзуки и Дж. Рикотта предлагается новое соответствие в теории чисел между арифметическими дзета-функциями и периодическими в среднем функциями в пространстве гладких функций на вещественной прямой не более чем экспоненциального роста.^[7] Это соответствие связано с Переписка Ленглендса. Два других приложения теории Фесенко - к полюсам дзета-функции собственных моделей эллиптических кривых над глобальными полями и к особому значению в центральной точке.^[8]

использованная литература

^ Рамачандран, Ниранджан (2015). «Дзета-функции, группы Гротендика и кольцо Витта». Бык. Sci. Математика. 139 (6): 599–627.
^ Жан-Пьер Серр (1965). Дзета и L-функции. Арифметическая алгебраическая геометрия. Харпер и Роу.
^ Джон Тейт (1965). Алгебраические циклы и полюсы дзета-функций. Арифметическая алгебраическая геометрия. Харпер и Роу.
^ Суле, Кристоф (1984) "K-théorie et zéros aux points entiers de fonctions zêta ", Труды Международного конгресса математиков, Vol. 1, 2 (Варшава, 1983 г.), Warszawa: PWN, стр. 437–445.
^ Фесенко Иван (2008), «Аделический подход к дзета-функции арифметических схем в размерности два», Московский математический журнал, 8: 273–317
^ Фесенко Иван (2010), «Анализ по арифметическим схемам. II», Журнал K-теории, 5: 437–557, Дои:10.1017 / is010004028jkt103
^ Фесенко Иван; Рикотта, Гийом; Сузуки, Масатоши (2008), "Периодичность в среднем и дзета-функции", arXiv:0803.2821
^ Фесенко Иван (2010), «Анализ по арифметическим схемам. II», Журнал K-теории, 5: 437–557, Дои:10.1017 / is010004028jkt103

Источники

Франсуа Брюа (1963). Лекции по некоторым аспектам p-адического анализа. Институт фундаментальных исследований Тата.
Серр, Жан-Пьер (1969–1970), "Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (определения и предположения)", Семинэр Деланж-Пизо-Пуату, 19

[1] Рамачандран, Ниранджан (2015). «Дзета-функции, группы Гротендика и кольцо Витта». Бык. Sci. Математика. 139 (6): 599–627.

[2] Жан-Пьер Серр (1965). Дзета и L-функции. Арифметическая алгебраическая геометрия. Харпер и Роу.

[3] Джон Тейт (1965). Алгебраические циклы и полюсы дзета-функций. Арифметическая алгебраическая геометрия. Харпер и Роу.

[4] Суле, Кристоф (1984) "K-théorie et zéros aux points entiers de fonctions zêta ", Труды Международного конгресса математиков, Vol. 1, 2 (Варшава, 1983 г.), Warszawa: PWN, стр. 437–445.

[5] Фесенко Иван (2008), «Аделический подход к дзета-функции арифметических схем в размерности два», Московский математический журнал, 8: 273–317

[6] Фесенко Иван (2010), «Анализ по арифметическим схемам. II», Журнал K-теории, 5: 437–557, Дои:10.1017 / is010004028jkt103

[7] Фесенко Иван; Рикотта, Гийом; Сузуки, Масатоши (2008), "Периодичность в среднем и дзета-функции", arXiv:0803.2821

[8] Фесенко Иван (2010), «Анализ по арифметическим схемам. II», Журнал K-теории, 5: 437–557, Дои:10.1017 / is010004028jkt103

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]