Последовательность Рекамана - Recamáns sequence - Wikipedia

В математика и Информатика, то Последовательность Рекамана^[1]^[2] (или же Последовательность Рекамана) - хорошо известный последовательность определяется отношение повторения, поскольку его элементы напрямую связаны с предыдущими элементами, они часто определяются с помощью рекурсия.

Рисунок первых 75 терминов последовательности Рекамана^[3], в соответствии с методом визуализации, показанным на Numberphile видео Слегка жуткая последовательность Рекамана^[4]

Он получил свое название в честь своего изобретателя. Бернардо Рекаман Сантос [es ] (Богота, 5 августа 1954 г.), а Колумбийский математик.

Определение

Последовательность Рекамана ${ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2} dots}$ определяется как:

{ displaystyle a_ {n} = { begin {cases} 0 && { text {if}} n = 0 a_ {n-1} -n && { text {if}} a_ {n-1} -n > 0 { text {и еще не входит в последовательность}} a_ {n-1} + n && { text {else}} end {cases}}}

Первые члены последовательности:

0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24, 8, 25, 43, 62, 42, 63, 41, 18, 42, 17, 43, 16, 44, 15, 45, 14, 46, 79, 113, 78, 114, 77, 39, 78, 38, 79, 37, 80, 36, 81, 35, 82, 34, 83, 33, 84, 32, 85, 31, 86, 30, 87, 29, 88, 28, 89, 27, 90, 26, 91, 157, 224, 156, 225, 155, ...

Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей (OEIS)

Последовательность Рекамана была названа в честь ее изобретателя, колумбийского математика Бернардо Рекамана Сантоса. Нил Слоан, создатель Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей (OEIS). Запись OEIS для этой последовательности: A005132.

Даже когда Нил Слоан с 1964 года собрано более 325000 последовательностей, на последовательность Рекамана ссылается в его статье Мои любимые целочисленные последовательности.^[5] Он также заявил, что из всех последовательностей в OEIS, это его любимая песня для прослушивания.^[1] (Вы можете услышать это ниже).

Визуальное представление

Сюжет для первых 200 терминов последовательности Рекамана.^[3]

Наиболее распространенная визуализация последовательности Рекамана - это просто нанесение ее значений, таких как рисунок справа.

14 января 2018 г. Numberphile YouTube канал опубликовал видео под названием Слегка жуткая последовательность Рекамана^[4], показывающий визуализацию с использованием чередующихся полукругов, как показано на рисунке вверху этой страницы.

25 января 2018 года Бенджамин Чаффин^[6] опубликовал график – журнал визуализировать первые 10²³⁰ термины последовательности Рекамана.^[7]

Звуковое представление

«Последовательность Рекамана»

«Включи последовательность Рекамана».

Значения последовательности могут быть связаны с музыкальными нотами, в таком случае выполнение последовательности может быть связано с исполнением музыкальной мелодии.^[8]

Характеристики

Последовательность удовлетворяет^[1]:

{ displaystyle a_ {n} geq 0}

{ displaystyle | a_ {n} -a_ {n-1} | = n}

Это не перестановка целых чисел: первый повторяющийся член ${ displaystyle 42 = a_ {24} = a_ {20}}$ .^[9] Еще один ${ displaystyle 43 = a_ {18} = a_ {26}}$ .

Гипотеза

Нил Слоан предположил, что каждое число в конечном итоге появляется,^[10]^[11]^[12] но это не было доказано. Хотя 10¹⁵ сроки рассчитаны (в 2018 г.), число 852 655 в списке не значилось.^[1]

Использует

Помимо математических и эстетических свойств, последовательность Рекамана может использоваться для защиты 2D-изображений с помощью стеганография.^[13]

Программирование

Расчет сроков последовательности можно запрограммировать.

В вики -основное программирование хрестоматия интернет сайт Розеттский код, на своей странице Последовательность Рекамана собирает серию программ на 30+ различных языках программирования для расчета условий последовательности.^[14]

Альтернативная последовательность

Последовательность - самая известная последовательность, изобретенная Рекаманом. Есть еще одна менее известная последовательность, определяемая как:

{ displaystyle a_ {1} = 1}

{ displaystyle a_ {n + 1} = { begin {case} a_ {n} / n && { text {if}} n { text {divides}} a_ {n} na_ {n} && { текст {иначе}} end {case}}}

Эта запись OEIS A008336.

внешняя ссылка

[oeis-1] а ^б ^c ^d https://oeis.org/A005132

[2] ttp://mathworld.wolfram.com/RecamansSequence.html

[formulae-3] а ^б Последовательность Рекамана. Решение задачи Последовательность Рекамана в Розеттский код, написано на языке Frmulæ. Вики Сообщества. Проверено 24 сентября 2019 года.

[numberphile-4] а ^б Слегка жуткая последовательность Рекамана, Numberphile видео.

[5] Н. Дж. А. Слоан, Последовательности и их приложения (Материалы SETA '98), Ч. Динг, Т. Хеллесет и Х. Нидеррайтер (редакторы), Springer-Verlag, Лондон, 1999, стр. 103–130.

[6] ttps://oeis.org/wiki/User:Benjamin_Chaffin

[7] ttps://oeis.org/A005132/a005132.png

[8] ttps://oeis.org/play?seq=A005132

[9] Математика меньше путешествовала

[10] ttps://oeis.org/A057167

[11] ttps://oeis.org/A064227

[12] ttps://oeis.org/A064228

[13] С. Фарраг и В. Алексан, «Защищенная стеганография 2D-изображений с использованием последовательности Рекамана», Международная конференция по передовым коммуникационным технологиям и сетям (CommNet), 2019 г., Рабат, Марокко, 2019 г., стр. 1-6. DOI: 10.1109 / COMMNET.2019.8742368

[14] ttp://rosettacode.org/wiki/Recaman%27s_sequence

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]