Порядковый номер преемника - Successor ordinal

В теория множеств, то преемник из порядковый номер α наименьшее порядковое число больше, чемα. Порядковый номер, являющийся преемником, называется порядковый номер преемника.

Свойства

Каждый ординал, отличный от 0, является либо порядковым номером-преемником, либо предельный порядковый номер.^[1]

В модели фон Неймана

С помощью порядковые числа фон Неймана (стандартная модель порядковых чисел, используемая в теории множеств), преемник S(α) порядкового номера α дается формулой^[1]

${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}.}$

Поскольку порядок порядковых чисел задается формулой α <β тогда и только тогда, когда α ∈ β, сразу видно, что между α и S(α), и также ясно, что α <S(α).

Порядковое сложение

Операция-преемник может использоваться для определения порядковое сложение строго через трансфинитная рекурсия следующим образом:

${\displaystyle \alpha +0=\alpha \!}$

${\displaystyle \alpha +S(\beta )=S(\alpha +\beta )\!}$

а для предельного ординала λ

${\displaystyle \alpha +\lambda =\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta )}$

Особенно, S(α) = α + 1. Умножение и возведение в степень определяются аналогично.

Топология

Следующие точки и ноль - это изолированные точки класса порядковых чисел относительно топология заказа.^[2]

Смотрите также

• Порядковая арифметика
• Предельный порядковый номер
• Кардинал-преемник

использованная литература

1. Кэмерон, Питер Дж. (1999), Наборы, логика и категории, Серия Springer по математике для бакалавров, Springer, стр. 46, ISBN  9781852330569.
2. Девлин, Кейт (1993), Радость множеств: основы современной теории множеств, Тексты для бакалавриата по математике, Springer, Упражнение 3C, стр. 100, ISBN  9780387940946.