Кардинал-преемник - Successor cardinal

В теория множеств, можно определить преемник операция на Количественные числительные аналогично операции преемника на порядковые номера. Кардинальный преемник совпадает с порядковым преемником для конечных кардиналов, но в бесконечном случае они расходятся, потому что каждый бесконечный ординал и его последователь имеют одинаковые мощность (а биекция можно установить между ними, просто отправив последний элемент преемника на 0, от 0 до 1 и т. д., и зафиксировав ω и все вышеперечисленные элементы; в стиле Гильберта Отель Инфинити ). С использованием Кардинальное назначение фон Неймана и аксиома выбора (AC) эту операцию-последователь легко определить: для кардинального числа κ у нас есть

${\displaystyle \kappa ^{+}=\left|\inf\{\lambda \in \mathrm {ON} \ :\ \kappa <\left|\lambda \right|\}\right|}$ ,

где ON - класс ординалов. Таким образом, последующий кардинал - это мощность наименьшего порядкового номера, в которую набор данной мощности может быть сопоставлен один к одному, но который не может быть сопоставлен один к одному обратно в этот набор.

Непустота приведенного выше множества следует из Теорема Хартогса, что говорит о том, что для любого хорошо заказываемый кардинал, такой кардинал большего размера можно построить. Минимум действительно существует, потому что порядковые номера хорошо упорядочены. Поэтому сразу видно, что между ними нет кардинального числа. κ и κ⁺. А преемник кардинала кардинал, который κ⁺ для некоторых кардинальных κ. В бесконечном случае операция преемника пропускает многие порядковые числа; на самом деле каждый бесконечный кардинал - это предельный порядковый номер. Следовательно, операция преемника для кардиналов приобретает большую силу в бесконечном случае (относительно операции порядкового преемственности), и, следовательно, количественные числа являются очень "разреженным" подклассом порядковых чисел. Определим последовательность алефы (через аксиома замены ) с помощью этой операции через все порядковые числа следующим образом:

${\displaystyle \aleph _{0}=\omega }$

${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha }^{+}}$

и для λ бесконечный предельный ординал,

${\displaystyle \aleph _{\lambda }=\bigcup _{\beta <\lambda }\aleph _{\beta }}$

Если β это порядковый номер преемника, тогда ${\displaystyle \aleph _{\beta }}$ является преемником кардинала. Кардиналы, которые не являются кардиналами-преемниками, называются ограничить кардиналов; и по приведенному выше определению, если λ предельный ординал, то ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$ предельный кардинал.

Стандартное определение, приведенное выше, ограничивается случаем, когда кардинал может быть хорошо упорядоченным, то есть конечным или алеф. Без аксиомы выбора есть кардиналы, которые нельзя упорядочить. Некоторые математики определили преемника такого кардинала как мощность наименьшего порядкового номера, который не может быть однозначно отображен в набор данной мощности. Это:

${\displaystyle \kappa ^{+}=|\inf\{\lambda \in \mathrm {ON} \ :\ |\lambda |\nleq \kappa \}|}$

какой Число Хартогса из κ.

Смотрите также

• Кардинальное назначение

использованная литература

• Пол Халмос, Наивная теория множеств. Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (Издание Springer-Verlag).
• Jech, Thomas, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и дополненное. Springer. ISBN  3-540-44085-2.
• Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости. Эльзевир. ISBN  0-444-86839-9.