Предел кардинала - Limit cardinal

В математика, ограничить кардиналов уверены Количественные числительные. Кардинальное число λ это слабый предел кардинала если λ не является ни преемник кардинала ни ноль. Это означает, что нельзя "дотянуться" λ от другого кардинала повторными операциями преемника. Этих кардиналов иногда называют просто "предельными кардиналами", когда контекст ясен.

Кардинал λ это сильный предел кардинала если λ не может быть достигнуто повторным powerset операции. Это значит, что λ отличен от нуля и для всех κ < λ, 2^κ < λ. Каждый сильный кардинал предела также является кардиналом слабого предела, потому что κ⁺ ≤ 2^κ для каждого кардинала κ, где κ⁺ обозначает кардинала-преемника κ.

Первый бесконечный кардинал, ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (алеф-ничто ), является сильным предельным кардиналом и, следовательно, также слабым предельным кардиналом.

Конструкции

Одним из способов построения предельных кардиналов является операция объединения: ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ является слабым предельным кардиналом, определяемым как объединение всех алефов перед ним; и вообще ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$ для любого предельный порядковый номер λ кардинал слабого предела.

В ב операция может использоваться для получения кардиналов с сильным лимитом. Эта операция представляет собой преобразование порядковых чисел в кардиналы, определяемые как

${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0},}$

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}$ (наименьший порядковый равномерный с powerset)

Если λ предельный порядковый номер, ${\displaystyle \beth _{\lambda }=\bigcup \{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.}$

Кардинал

${\displaystyle \beth _{\omega }=\bigcup \{\beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\ldots \}=\bigcup _{n<\omega }\beth _{n}}$

сильный предел кардинала конфинальность ω. В более общем смысле, учитывая любой порядковый номер α, кардинал

${\displaystyle \beth _{\alpha +\omega }=\bigcup _{n<\omega }\beth _{\alpha +n}}$

кардинал с сильным пределом. Таким образом, существуют сколь угодно большие сильные кардиналы лимита.

Связь с порядковыми индексами

Если аксиома выбора верно, каждое кардинальное число имеет начальный порядковый номер. Если этот начальный порядковый номер ${\displaystyle \omega _{\lambda }\,,}$ то кардинальное число имеет вид ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$ для того же порядкового индекса λ. Порядковый λ определяет, есть ли ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$ кардинал слабого предела. Потому что ${\displaystyle \aleph _{\alpha ^{+}}=(\aleph _{\alpha })^{+}\,,}$ если λ порядковый номер преемника, то ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$ это не слабый предел. И наоборот, если кардинал κ кардинал-преемник, скажем ${\displaystyle \kappa =(\aleph _{\alpha })^{+}\,,}$ тогда ${\displaystyle \kappa =\aleph _{\alpha ^{+}}\,.}$ Таким образом, в целом ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$ является слабым предельным кардиналом тогда и только тогда, когда λ равен нулю или предельному порядковому номеру.

Хотя порядковый нижний индекс говорит нам, является ли кардинал слабым пределом, он не говорит нам, является ли кардинал сильным пределом. Например, ZFC доказывает, что ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ является слабым предельным кардиналом, но не доказывает и не опровергает, что ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ является сильным предельным кардиналом (Hrbacek and Jech 1999: 168). В гипотеза обобщенного континуума утверждает, что ${\displaystyle \kappa ^{+}=2^{\kappa }\,}$ для каждого бесконечного кардинала κ. Согласно этой гипотезе, понятия слабого и сильного предельных кардиналов совпадают.

Понятие недоступности и больших кардиналов

Вышеупомянутое определяет понятие «недоступности»: мы имеем дело со случаями, когда уже недостаточно выполнить конечное число итераций операций преемника и набора мощности; отсюда фраза «не может быть достигнута» в обоих интуитивных определениях выше. Но «операция объединения» всегда предоставляет другой способ «доступа» к этим кардиналам (и действительно, так обстоит дело и с предельными ординалами). Более строгие понятия недоступности можно определить с помощью конфинальность. Для слабого (соответственно сильного) предела кардинала κ требуется, чтобы cf (κ) = κ (т.е. κ быть регулярный ) так что κ не может быть выражено как сумма (объединение) менее чем κ меньшие кардиналы. Такой кардинал называется слабо (соответственно сильно) недоступный кардинал. Оба предыдущих примера являются сингулярными кардиналами конфинальности ω и, следовательно, не являются недоступными.

${\displaystyle \aleph _{0}}$ было бы недоступным кардиналом обеих "сильных сторон", за исключением того, что определение недоступного требует, чтобы они были неисчислимыми. Стандартная теория множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) не может даже доказать непротиворечивость существования недоступного кардинала любого вида сверху. ${\displaystyle \aleph _{0}}$, из-за Теорема Гёделя о неполноте. В частности, если ${\displaystyle \kappa }$ слабо недоступен, то ${\displaystyle L_{\kappa }\models ZFC}$. Они образуют первые в иерархии большие кардиналы.

Смотрите также

• количественное числительное

использованная литература

• Хрбачек, Карел; Jech, Thomas (1999), Введение в теорию множеств (3-е изд.), ISBN  0-8247-7915-0
• Jech, Томас (2003), Теория множеств, Springer Monographs in Mathematics (изд. Третьего тысячелетия), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / 3-540-44761-Х, ISBN  978-3-540-44085-7
• Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: введение в доказательства независимости, Эльзевир, ISBN  978-0-444-86839-8

внешние ссылки

• http://www.ii.com/math/cardinals/ Бесконечные чернила на кардиналах