Кардинальное назначение - Cardinal assignment

В теория множеств, Концепция чего-либо мощность можно значительно развить, не прибегая к фактическому определению Количественные числительные как объекты в самой теории (на самом деле это точка зрения, Frege; Кардиналы Фреге в основном классы эквивалентности в целом вселенная из наборы, к равноденствие ). Эти концепции разработаны путем определения равноденствия с точки зрения функций и концепций один к одному и на (инъективность и сюръективность); это дает нам квазиупорядочение связь

${\displaystyle A\leq _{c}B\quad \iff \quad (\exists f)(f:A\to B\ \mathrm {is\ injective} )}$

по всей вселенной по размеру. Это не настоящий частичный порядок, потому что антисимметрия не нужно держать: если оба ${\displaystyle A\leq _{c}B}$ и ${\displaystyle B\leq _{c}A}$, это правда Теорема Кантора – Бернштейна – Шредера. который ${\displaystyle A=_{c}B}$ т.е. А и B равны, но не обязательно должны быть буквально равными (см. изоморфизм ). Это хотя бы один из ${\displaystyle A\leq _{c}B}$ и ${\displaystyle B\leq _{c}A}$ оказывается эквивалентным аксиома выбора.

Тем не менее, большинство интересно результаты о мощности и его арифметике могут быть выражены просто с помощью =_c.

Цель кардинальное назначение назначать каждому набору А конкретный уникальный набор, который зависит только от количества элементов А. Это в соответствии с Кантор оригинальное видение кардиналов: взять набор и абстрагировать его элементы в канонические «единицы» и собрать эти единицы в другой набор, так что единственной особенностью этого набора является его размер. Они будут полностью упорядочены отношением ${\displaystyle \leq _{c}}$ и =_c было бы истинное равенство. Однако, как говорит Ю. Н. Мощовакис, это в основном упражнение на математическую элегантность, и вы не получите многого, если только у вас нет «аллергии на индексы». Однако существуют различные полезные применения «реальных» количественных чисел в различных модели теории множеств.

В современной теории множеств мы обычно используем Кардинальное назначение фон Неймана, который использует теорию порядковые номера и вся сила аксиом выбор и замена. Кардинальные присвоения действительно нуждаются в полной аксиоме выбора, если мы хотим достойную кардинальную арифметику и назначение для все наборы.

Кардинальное присвоение без аксиомы выбора

Формально, исходя из выбранной аксиомы, мощность множества Икс наименьший ординал α такой, что существует биекция между Икс и α. Это определение известно как Кардинальное назначение фон Неймана. Если аксиома выбора не предполагается, нам нужно сделать что-то другое. Самое старое определение мощности множества Икс (неявно у Кантора и явно у Фреге и Principia Mathematica ) как множество всех множеств, равных множеству Икс: это не работает в ZFC или другие связанные системы аксиоматическая теория множеств потому что эта коллекция слишком велика для набора, но она работает в теория типов И в Новые основы и связанные системы. Однако, если ограничиться этим учебный класс равным с Икс у которых меньше всего классифицировать, то это сработает (это уловка из-за Дана Скотт: он работает, потому что набор объектов с любым заданным рангом является набором).

Рекомендации

• Мощовакис, Яннис Н. Заметки по теории множеств. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1994.