Аксиомы замыкания Куратовского - Kuratowski closure axioms

В топология и смежные отрасли математика, то Аксиомы замыкания Куратовского представляют собой набор аксиомы который можно использовать для определения топологическая структура на набор. Они эквивалентны более часто используемым открытый набор определение. Впервые они были формализованы Казимеж Куратовски,^[1] и эта идея была дополнительно изучена математиками, такими как Вацлав Серпинский и Антониу Монтейро,^[2] среди прочего.

Аналогичный набор аксиом можно использовать для определения топологической структуры, используя только двойственное понятие оператор интерьера.^[3]

Определение

Операторы замыкания Куратовского и ослабления

Позволять ${\displaystyle X}$ - произвольное множество и ${\displaystyle \wp (X)}$ это набор мощности. А Куратовский оператор закрытия это унарная операция ${\displaystyle \mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)}$ со следующими свойствами:

[K1] Это сохраняет пустое множество: ${\displaystyle \mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing }$;

[K2] это обширный: для всех ${\displaystyle A\subseteq X}$, ${\displaystyle A\subseteq \mathbf {c} (A)}$;

[K3] это идемпотент: для всех ${\displaystyle A\subseteq X}$, ${\displaystyle \mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (\mathbf {c} (A))}$;

[K4] Это сохраняет/распределяет по бинарные союзы: для всех ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\displaystyle \mathbf {c} (A\cup B)=\mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)}$.

Следствие ${\displaystyle \mathbf {c} }$ сохранение бинарных объединений - это следующее условие:^[4]

[K4 '] это изотонический: ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} (B)}$.

Фактически, если мы перепишем равенство в [K4] как включение, давая более слабую аксиому [K4 ''] (субаддитивность):

[K4 ''] это субаддитив: для всех ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\displaystyle \mathbf {c} (A\cup B)\subseteq \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)}$,

то легко увидеть, что аксиомы [K4 '] и [K4 ''] вместе эквивалентны [K4] (см. предпоследний абзац доказательства 2 ниже).

Куратовский (1966) включает пятую (необязательную) аксиому, требующую, чтобы одноэлементные множества были стабильны при закрытии: для всех ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle \mathbf {c} (\{x\})=\{x\}}$. Он называет топологические пространства, удовлетворяющие всем пяти аксиомам, Т₁-пространства в отличие от более общих пространств, которые удовлетворяют только четырем перечисленным аксиомам. Действительно, эти пространства точно соответствуют топологический T₁-пространства через обычную переписку (см. ниже).^[5]

Если требование [K3] опускается, то аксиомы определяют Čech оператор закрытия.^[6] Если [K1] вместо этого опускается, то оператор, удовлетворяющий [K2], [K3] и [K4 '] считается Оператор замыкания Мура.^[7] Пара ${\displaystyle (X,\mathbf {c} )}$ называется Куратовски, Чех или же Закрытие пространства Мура в зависимости от аксиом, которым удовлетворяет ${\displaystyle \mathbf {c} }$.

Альтернативные аксиоматизации

Четыре аксиомы замыкания Куратовского можно заменить одним условием, данным Первином:^[8]

[П] Для всех ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\displaystyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)\setminus \mathbf {c} (\varnothing )}$.

Аксиомы [K1]—[K4] можно вывести как следствие этого требования:

1. выбирать ${\displaystyle A=B=\varnothing }$. потом ${\displaystyle \varnothing \cup \mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\mathbf {c} (\varnothing )\setminus \mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing }$, или же ${\displaystyle \mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\varnothing }$. Отсюда сразу следует [K1].
2. Выберите произвольный ${\displaystyle A\subseteq X}$ и ${\displaystyle B=\varnothing }$. Тогда, применяя аксиому [K1], ${\displaystyle A\cup \mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (A)}$, подразумевая [K2].
3. выбирать ${\displaystyle A=\varnothing }$ и произвольный ${\displaystyle B\subseteq X}$. Тогда, применяя аксиому [K1], ${\displaystyle \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (B)}$, который [K3].
4. Выбрать произвольно ${\displaystyle A,B\subseteq X}$. Применение аксиом [K1]—[K3], получается [K4].

В качестве альтернативы, Монтейро (1945) Ошибка harvp: цель отсутствует: CITEREFMonteiro1945 (помощь) предложил более слабую аксиому, которая только [K2]—[K4]:^[9]

[M] Для всех ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\textstyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))\subseteq \mathbf {c} (A\cup B)}$.

Требование [K1] не зависит от [M] : действительно, если ${\displaystyle X\neq \varnothing }$, Оператор ${\displaystyle \mathbf {c} ^{\star }:\wp (X)\to \wp (X)}$ определяется постоянным присваиванием ${\displaystyle A\mapsto \mathbf {c} ^{\star }(A):=X}$ удовлетворяет [M] но не сохраняет пустое множество, так как ${\displaystyle \mathbf {c} ^{\star }(\varnothing )=X}$. Обратите внимание, что по определению любой оператор, удовлетворяющий [M] является оператором замыкания Мура.

Более симметричная альтернатива [M] было также доказано М. О. Ботельо и М. Х. Тейшейрой, что подразумевает аксиомы [K2]—[K4]:^[2]

[BT] Для всех ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\textstyle A\cup B\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (A))\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)}$.

Аналогичные конструкции

Внутренние, внешние и граничные операторы

Двойственное понятие к операторам замыкания Куратовского - это понятие Куратовски оператор интерьера, которая является картой ${\displaystyle \mathbf {i} :\wp (X)\to \wp (X)}$ удовлетворяющие следующим аналогичным требованиям:^[3]

[I1] Это сохраняет общее пространство: ${\displaystyle \mathbf {i} (X)=X}$;

[I2] это интенсивный: для всех ${\displaystyle A\subseteq X}$, ${\displaystyle \mathbf {i} (A)\subseteq A}$;

[I3] это идемпотент: для всех ${\displaystyle A\subseteq X}$, ${\displaystyle \mathbf {i} (\mathbf {i} (A))=\mathbf {i} (A)}$;

[I4] Это сохраняет бинарные пересечения: для всех ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\displaystyle \mathbf {i} (A\cap B)=\mathbf {i} (A)\cap \mathbf {i} (B)}$.

Для этих операторов можно сделать выводы, полностью аналогичные выводам, сделанным для замыканий Куратовского. Например, все внутренние операторы Куратовского являются изотонический, т.е. они удовлетворяют [K4 '], а из-за интенсивности [I2], можно ослабить равенство в [I3] к простому включению.

Двойственность замков Куратовского и интерьеров обеспечивается естественным оператор дополнения на ${\displaystyle \wp (X)}$, карта ${\displaystyle \mathbf {n} :\wp (X)\to \wp (X)}$ отправка ${\displaystyle A\mapsto \mathbf {n} (A):=X\setminus A}$. Эта карта ортодополнение на решетке набора мощности, что означает, что он удовлетворяет Законы де Моргана: если ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ - произвольный набор индексов и ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq \wp (X)}$,

$${\displaystyle \mathbf {n} {\Big (}\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}{\Big )}=\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {n} (A_{i}),\qquad \mathbf {n} {\Big (}\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}{\Big )}=\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {n} (A_{i}).}$$

Используя эти законы вместе с определяющими свойствами ${\displaystyle \mathbf {n} }$, можно показать, что любая внутренность Куратовского индуцирует замыкание Куратовского (и наоборот) через определяющее соотношение ${\displaystyle \mathbf {c} :=\mathbf {nin} }$ (и ${\displaystyle \mathbf {i} :=\mathbf {ncn} }$). Каждый результат, полученный относительно ${\displaystyle \mathbf {c} }$ может быть преобразован в результат относительно ${\displaystyle \mathbf {i} }$ за счет использования этих соотношений в сочетании со свойствами ортодополнения ${\displaystyle \mathbf {n} }$.

Первин (1964) далее предоставляет аналогичные аксиомы для Куратовски внешние операторы^[3] и Граничные операторы Куратовского,^[10] которые также вызывают замыкания Куратовского через соотношения ${\displaystyle \mathbf {c} :=\mathbf {ne} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} (A):=A\cup \mathbf {b} (A)}$.

Абстрактные операторы

Основная статья: Внутренняя алгебра

Обратите внимание, что аксиомы [K1]—[K4] может быть адаптирован для определения Абстрактные унарная операция ${\displaystyle \mathbf {c} :L\to L}$ на общей ограниченной решетке ${\displaystyle (L,\land ,\lor ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} )}$, путем формальной замены теоретико-множественного включения на частичный порядок, ассоциированного с решеткой, теоретико-множественного объединения с операцией соединения и теоретико-множественных пересечений с операцией встречи; аналогично для аксиом [I1]—[I4]. Если решетка ортодополняема, эти две абстрактные операции индуцируют друг друга обычным образом. Абстрактное замыкание или внутренние операторы могут использоваться для определения обобщенная топология на решетке.

Поскольку ни объединения, ни пустое множество не появляются в требовании для оператора замыкания Мура, определение может быть адаптировано для определения абстрактного унарного оператора ${\displaystyle \mathbf {c} :S\to S}$ на произвольном посеть ${\displaystyle S}$.

Связь с другими аксиоматизациями топологии

Индукция топологии из замыкания

Оператор замыкания естественным образом индуцирует топология следующее. Позволять ${\displaystyle X}$ - произвольное множество. Мы будем говорить, что подмножество ${\displaystyle C\subseteq X}$ является закрыто относительно оператора замыкания Куратовского ${\displaystyle \mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)}$ если и только если это фиксированная точка указанного оператора, или, другими словами, это стабильно под ${\displaystyle \mathbf {c} }$, т.е. ${\displaystyle \mathbf {c} (C)=C}$. Утверждение состоит в том, что семейство всех подмножеств общего пространства, которые являются дополнениями замкнутых множеств, удовлетворяет трем обычным требованиям для топологии или, что эквивалентно, семейству ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$ всех замкнутых множеств удовлетворяет следующему:

[T1] Это ограниченный подрешетка из ${\displaystyle \wp (X)}$, т.е. ${\displaystyle X,\varnothing \in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$;

[T2] это полный при произвольных пересечениях, т.е. если ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ - произвольный набор индексов и ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$, тогда ${\displaystyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$;

[T3] это полный при конечных союзах, т.е. если ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ - конечный набор индексов и ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$, тогда ${\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$.

Обратите внимание, что по идемпотентности [K3]можно кратко написать ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]=\operatorname {im} (\mathbf {c} )}$.

Доказательство 1.

[T1] По экстенсивности [K2], ${\displaystyle X\subseteq \mathbf {c} (X)}$ и так как замыкание отображает набор мощности ${\displaystyle X}$ в себя (то есть изображение любого подмножества является подмножеством ${\displaystyle X}$), ${\displaystyle \mathbf {c} (X)\subseteq X}$ у нас есть ${\displaystyle X=\mathbf {c} (X)}$. Таким образом ${\displaystyle X\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$. Сохранение пустого множества [K1] легко подразумевает ${\displaystyle \varnothing \in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$. [T2] Далее пусть ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ - произвольный набор индексов и пусть ${\displaystyle C_{i}}$ быть закрытым для каждого ${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}$. По экстенсивности [K2], ${\displaystyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\subseteq \mathbf {c} {\Big (}\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}{\Big )}}$. Также по изотоничности [K4 '], если ${\displaystyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\subseteq C_{i}}$по всем показателям ${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}$, тогда ${\displaystyle \mathbf {c} {\Big (}\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}{\Big )}\subseteq \mathbf {c} (C_{i})=C_{i}}$ для всех ${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}$, что означает ${\displaystyle \mathbf {c} {\Big (}\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}{\Big )}\subseteq \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}}$. Следовательно, ${\displaystyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}=\mathbf {c} {\Big (}\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}{\Big )}}$, смысл ${\displaystyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$. [T3] Наконец, пусть ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ - конечный набор индексов и пусть ${\displaystyle C_{i}}$ быть закрытым для каждого ${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}$. От сохранения бинарных союзов [K4], и используя индукция от числа подмножеств, из которых мы берем объединение, имеем ${\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}=\mathbf {c} {\Big (}\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}{\Big )}}$. Таким образом, ${\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$.

Индукция замыкания из топологии

И наоборот, учитывая семью ${\displaystyle \kappa }$ удовлетворяющие аксиомы [T1]—[T3], можно построить оператор замыкания Куратовского следующим образом: если ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ и ${\displaystyle A^{\uparrow }=\{B\in \wp (X)\ |\ A\subseteq B\}}$ это включение расстроен из ${\displaystyle A}$, тогда

$${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A):=\bigcap _{B\in (\kappa \cap A^{\uparrow })}B}$$

определяет оператор замыкания Куратовского ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }}$ на ${\displaystyle \wp (X)}$.

Доказательство 2.

[K1] С ${\displaystyle \varnothing ^{\uparrow }=\wp (X)}$, ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(\varnothing )}$ сводится к пересечению всех множеств в семействе ${\displaystyle \kappa }$; но ${\displaystyle \varnothing \in \kappa }$ по аксиоме [T1], поэтому пересечение схлопывается до нулевого набора и [K1] следует. [K2] По определению ${\displaystyle A^{\uparrow }}$у нас есть это ${\displaystyle A\subseteq B}$ для всех ${\displaystyle B\in (\kappa \cap A^{\uparrow })}$, и поэтому ${\displaystyle A}$ должны содержаться в пересечении всех таких множеств. Отсюда следует экстенсивность [K2]. [K3] Заметьте, что для всех ${\displaystyle A\in \wp (X)}$, семья ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A)^{\uparrow }\cap \kappa }$ содержит ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A)}$ сам по себе как минимальный элемент w.r.t. включение. Следовательно ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }^{2}(A)=\bigcap _{B\in \mathbf {c} _{\kappa }(A)^{\uparrow }\cap \kappa }B=\mathbf {c} _{\kappa }(A)}$, что является идемпотентностью [K3]. [K4 ’] Позволять ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq X}$: тогда ${\displaystyle B^{\uparrow }\subseteq A^{\uparrow }}$, и поэтому ${\displaystyle \kappa \cap B^{\uparrow }\subseteq \kappa \cap A^{\uparrow }}$. Поскольку последнее семейство может содержать больше элементов, чем первое, мы находим ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(B)}$, что является изотонностью [K4 ']. Обратите внимание, что изотоничность подразумевает ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)}$ и ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(B)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)}$, что вместе подразумевает ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)}$. [K4] Наконец, исправим ${\displaystyle A,B\in \wp (X)}$. Аксиома [T2] подразумевает ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A),\mathbf {c} _{\kappa }(B)\in \kappa }$; кроме того, аксиома [T2] подразумевает, что ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)\in \kappa }$. По экстенсивности [K2] надо ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A)\in A^{\uparrow }}$ и ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(B)\in B^{\uparrow }}$, так что ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)\in (A^{\uparrow })\cap (B^{\uparrow })}$. Но ${\displaystyle (A^{\uparrow })\cap (B^{\uparrow })=(A\cup B)^{\uparrow }}$, так что в целом ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)\in \kappa \cap (A\cup B)^{\uparrow }}$. С того времени ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)}$ является минимальным элементом ${\displaystyle \kappa \cap (A\cup B)^{\uparrow }}$ w.r.t. включение, мы находим ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)}$. Пункт 4. обеспечивает аддитивность [K4].

Точное соответствие между двумя структурами

Фактически, эти две дополнительные конструкции противоположны друг другу: если ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{K}(X)}$ является совокупностью всех операторов замыкания Куратовского на ${\displaystyle X}$, и ${\displaystyle \mathrm {Atp} (X)}$ - это совокупность всех семейств, состоящая из дополнений ко всем множествам в топологии, т.е. совокупность всех семейств, удовлетворяющих [T1]—[T3], тогда ${\displaystyle {\mathfrak {S}}:\mathrm {Cls} _{K}(X)\to \mathrm {Atp} (X)}$ такой, что ${\displaystyle \mathbf {c} \mapsto {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$ является биекцией, обратная которой задается присваиванием ${\displaystyle {\mathfrak {C}}:\kappa \mapsto \mathbf {c} _{\kappa }}$.

Доказательство 3.

Сначала докажем, что ${\displaystyle {\mathfrak {C}}\circ {\mathfrak {S}}={\mathfrak {1}}_{\mathrm {Cls} _{K}(X)}}$, оператор тождества на ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{K}(X)}$. Для данного закрытия Куратовского ${\displaystyle \mathbf {c} \in \mathrm {Cls} _{K}(X)}$, определять ${\displaystyle \mathbf {c} ':={\mathfrak {C}}[{\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]]}$; тогда если ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ его загрунтованная крышка ${\displaystyle \mathbf {c} '(A)}$ это пересечение всех ${\displaystyle \mathbf {c} }$-стабильные множества, содержащие ${\displaystyle A}$. Его закрытие без грунтовки ${\displaystyle \mathbf {c} (A)}$ удовлетворяет этому описанию: по экстенсивности [K2] у нас есть ${\displaystyle A\subseteq \mathbf {c} (A)}$, и по идемпотентности [K3] у нас есть ${\displaystyle \mathbf {c} (\mathbf {c} (A))=\mathbf {c} (A)}$, и поэтому ${\displaystyle \mathbf {c} (A)\in (A^{\uparrow }\cap {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ])}$. Теперь позвольте ${\displaystyle C\in (A^{\uparrow }\cap {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ])}$ такой, что ${\displaystyle A\subseteq C\subseteq \mathbf {c} (A)}$: по изотоничности [K4 '] у нас есть ${\displaystyle \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} (C)}$, и с тех пор ${\displaystyle \mathbf {c} (C)=C}$ мы заключаем, что ${\displaystyle C=\mathbf {c} (A)}$. Следовательно ${\displaystyle \mathbf {c} (A)}$ минимальный элемент ${\displaystyle A^{\uparrow }\cap {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$ w.r.t. включение, подразумевая ${\displaystyle \mathbf {c} '(A)=\mathbf {c} (A)}$. Теперь докажем, что ${\displaystyle {\mathfrak {S}}\circ {\mathfrak {C}}={\mathfrak {1}}_{\mathrm {Atp} (X)}}$. Если ${\displaystyle \kappa \in \mathrm {Atp} (X)}$ и ${\displaystyle \kappa ':={\mathfrak {S}}[{\mathfrak {C}}[\kappa ]]}$ это семейство всех множеств, устойчивых относительно ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }}$, результат следует, если оба ${\displaystyle \kappa '\subseteq \kappa }$ и ${\displaystyle \kappa \subseteq \kappa '}$. Позволять ${\displaystyle A\in \kappa '}$: следовательно ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A)=A}$. С ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A)}$ является пересечением произвольного подсемейства ${\displaystyle \kappa }$, а последняя полна при произвольных пересечениях [T2], тогда ${\displaystyle A=\mathbf {c} _{\kappa }(A)\in \kappa }$. Наоборот, если ${\displaystyle A\in \kappa }$, тогда ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A)}$ является минимальным надмножеством ${\displaystyle A}$ что содержится в ${\displaystyle \kappa }$. Но это банально ${\displaystyle A}$ сам, подразумевая ${\displaystyle A\in \kappa '}$.

Заметим, что можно также продолжить биекцию ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ в коллекцию ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\check {C}}(X)}$ всех операторов замыкания Чеха, который строго содержит ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{K}(X)}$; это расширение ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {S}}}}$ также сюръективен, что означает, что все операторы замыкания Чеха на ${\displaystyle X}$ также индуцируют топологию на ${\displaystyle X}$.^[11] Однако это означает, что ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {S}}}}$ больше не биекция.

Примеры

• Как обсуждалось выше, учитывая топологическое пространство ${\displaystyle X}$ мы можем определить замыкание любого подмножества ${\displaystyle A\subseteq X}$ быть набором ${\displaystyle \mathbf {c} (A)=\bigcap \{C{\text{ a closed subset of }}X|A\subseteq C\}}$, т.е. пересечение всех замкнутых множеств ${\displaystyle X}$ которые содержат ${\displaystyle A}$. Набор ${\displaystyle \mathbf {c} (A)}$ это наименьший замкнутый набор ${\displaystyle X}$ содержащий ${\displaystyle A}$, а оператор ${\displaystyle \mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)}$ - оператор замыкания Куратовского.
• Если ${\displaystyle X}$ любой набор, операторы ${\displaystyle \mathbf {c} _{\top },\mathbf {c} _{\bot }:\wp (X)\to \wp (X)}$ такой, что
  $${\displaystyle \mathbf {c} _{\top }(A)={\begin{cases}\varnothing &A=\varnothing ,\\X&A\neq \varnothing ,\end{cases}}\qquad \mathbf {c} _{\bot }(A)=A\quad \forall A\in \wp (X),}$$
  закрытие Куратовского. Первый вызывает недискретная топология ${\displaystyle \{\varnothing ,X\}}$, а второй индуцирует дискретная топология ${\displaystyle \wp (X)}$.

• Исправьте произвольный ${\displaystyle S\subsetneq X}$, и разреши ${\displaystyle \mathbf {c} _{S}:\wp (X)\to \wp (X)}$ быть таким, чтобы ${\displaystyle \mathbf {c} _{S}(A):=A\cup S}$ для всех ${\displaystyle A\in \wp (X)}$. потом ${\displaystyle \mathbf {c} _{S}}$ определяет замыкание Куратовского; соответствующее семейство замкнутых множеств ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{S}]}$ совпадает с ${\displaystyle S^{\uparrow }}$, семейство всех подмножеств, содержащих ${\displaystyle S}$. Когда ${\displaystyle S=\varnothing }$, мы снова восстанавливаем дискретную топологию ${\displaystyle \wp (X)}$ (т.е. ${\displaystyle \mathbf {c} _{\varnothing }=\mathbf {c} _{\bot }}$, как видно из определений).
• Если ${\displaystyle \lambda }$ такое кардинальное число, что ${\displaystyle \lambda \leq \operatorname {crd} (X)}$, то оператор ${\displaystyle \mathbf {c} _{\lambda }:\wp (X)\to \wp (X)}$ такой, что
  $${\displaystyle \mathbf {c} _{\lambda }(A)={\begin{cases}A&\operatorname {crd} (A)<\lambda ,\\X&\operatorname {crd} (A)\geq \lambda \end{cases}}}$$
  удовлетворяет всем четырем аксиомам Куратовского.^[12] В случае, когда ${\displaystyle \operatorname {crd} (X)>\aleph _{1}}$, если ${\displaystyle \lambda =\aleph _{0}}$, этот оператор индуцирует конфинитная топология на ${\displaystyle X}$; если ${\displaystyle \lambda =\aleph _{1}}$, это вызывает составная топология.

Характеристики

• Поскольку любое замыкание Куратовского изотонно, и поэтому, очевидно, любое отображение включения, имеется (изотонный) Связь Галуа ${\displaystyle \langle \mathbf {c} :\wp (X)\to \mathrm {im} (\mathbf {c} );\iota :\mathrm {im} (\mathbf {c} )\hookrightarrow \wp (X)\rangle }$, при условии одного просмотра ${\displaystyle \wp (X)}$как ч.у. относительно включения, и ${\displaystyle \mathrm {im} (\mathbf {c} )}$ как подмножество ${\displaystyle \wp (X)}$. Действительно, легко проверить, что для всех ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ и ${\displaystyle C\in \mathrm {im} (\mathbf {c} )}$, ${\displaystyle \mathbf {c} (A)\subseteq C}$ если и только если ${\displaystyle A\subseteq \iota (C)}$.
• Если ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$ является подсемейством ${\displaystyle \wp (X)}$, тогда
  $${\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i})\subseteq \mathbf {c} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right),\qquad \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i}).}$$
• Если ${\displaystyle A,B\in \wp (X)}$, тогда ${\displaystyle \mathbf {c} (A)\setminus \mathbf {c} (B)\subseteq \mathbf {c} (A\setminus B)}$.

Топологические концепции с точки зрения замыкания

Уточнения и подпространства

Пара застежек Куратовского ${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2}:\wp (X)\to \wp (X)}$ такой, что ${\displaystyle \mathbf {c} _{2}(A)\subseteq \mathbf {c} _{1}(A)}$ для всех ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ создавать топологии ${\displaystyle \tau _{1},\tau _{2}}$ такой, что ${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$, наоборот. Другими словами, ${\displaystyle \mathbf {c} _{1}}$ доминирует ${\displaystyle \mathbf {c} _{2}}$ тогда и только тогда, когда топология, индуцированная вторым, является уточнением топологии, индуцированной первым, или, что эквивалентно ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{1}]\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{2}]}$.^[13] Например, ${\displaystyle \mathbf {c} _{\top }}$ явно доминирует ${\displaystyle \mathbf {c} _{\bot }}$(последнее - просто личность на ${\displaystyle \wp (X)}$). Поскольку к тому же выводу можно прийти, подставив ${\displaystyle \tau _{i}}$ с семьей ${\displaystyle \kappa _{i}}$ содержащий дополнения всех его членов, если ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{K}(X)}$ наделен частичным порядком ${\displaystyle \mathbf {c} \leq \mathbf {c} '\iff \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} '(A)}$ для всех ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Atp} (X)}$ наделен порядком уточнения, то можно заключить, что ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ это антитоническое отображение между посетами.

В любой индуцированной топологии (относительно подмножества А) замкнутые множества индуцируют новый оператор замыкания, который является просто исходным оператором замыкания, ограниченным А: ${\displaystyle \mathbf {c} _{A}(B)=A\cap \mathbf {c} _{X}(B)}$, для всех ${\displaystyle B\subseteq A}$.^[14]

Непрерывные отображения, замкнутые отображения и гомеоморфизмы

Функция ${\displaystyle f:(X,\mathbf {c} )\to (Y,\mathbf {c} ')}$ является непрерывный в какой-то момент ${\displaystyle p}$ если только ${\displaystyle p\in \mathbf {c} (A)\Rightarrow f(p)\in \mathbf {c} '(f(A))}$, и непрерывна всюду тогда и только тогда, когда

$${\displaystyle f(\mathbf {c} (A))\subseteq \mathbf {c} '(f(A))}$$

для всех подмножеств ${\displaystyle A\in \wp (X)}$.^[15] Отображение ${\displaystyle f}$ является замкнутым отображением тогда и только тогда, когда выполняется обратное включение,^[16] и это гомеоморфизм тогда и только тогда, когда он одновременно непрерывен и замкнут, т.е. если и только если выполняется равенство.^[17]

Аксиомы разделения

Позволять ${\displaystyle (X,\mathbf {c} )}$ быть закрытым пространством Куратовского. потом

• ${\displaystyle X}$ это Т₀-Космос если только ${\displaystyle x\neq y}$ подразумевает ${\displaystyle \mathbf {c} (\{x\})\neq \mathbf {c} (\{y\})}$;^[18]
• ${\displaystyle X}$ это Т₁-Космос если только ${\displaystyle \mathbf {c} (\{x\})=\{x\}}$ для всех ${\displaystyle x\in X}$;^[19]
• ${\displaystyle X}$ это Т₂-Космос если только ${\displaystyle x\neq y}$ следует, что существует множество ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ так что оба ${\displaystyle x\notin \mathbf {c} (A)}$ и ${\displaystyle y\notin \mathbf {c} (\mathbf {n} (A))}$, куда ${\displaystyle \mathbf {n} }$ - оператор дополнения множеств.^[20]

Близость и разлука

Точка ${\displaystyle p}$ является Закрыть к подмножеству ${\displaystyle A}$ если ${\displaystyle p\in \mathbf {c} (A).}$Это можно использовать для определения близость отношение на точках и подмножествах множества.^[21]

Два набора ${\displaystyle A,B\in \wp (X)}$ разделены, если и только если ${\displaystyle (A\cap \mathbf {c} (B))\cup (B\cap \mathbf {c} (A))=\varnothing }$. Космос ${\displaystyle X}$ является связаны если и только если это нельзя записать как объединение двух разделенных подмножеств.^[22]

Смотрите также

• Топологическое пространство
• Оператор закрытия
• Čech оператор закрытия
• Замыкательная алгебра
• Характеризации категории топологических пространств

Примечания

1. Куратовский (1922).
2. Монтейро (1945), п. 160 Ошибка harvp: цель отсутствует: CITEREFMonteiro1945 (помощь).
3. Первин (1964), п. 44.
4. Первин (1964), п. 43, упражнение 6.
5. Куратовский (1966), п. 38.
6. Архангельский и Федорчук (1990), п. 25.
7. "Замыкание Мура". nLab. 7 марта 2015 г.. Получено 19 августа, 2019.
8. Первин (1964), п. 42, упражнение 5.
9. Монтейро (1945), п. 158 Ошибка harvp: цель отсутствует: CITEREFMonteiro1945 (помощь).
10. Первин (1964), п. 46, упражнение 4.
11. Архангельский и Федорчук (1990), п. 26.
12. Доказательство по делу ${\displaystyle \lambda =\aleph _{0}}$ можно найти на «Это оператор закрытия Куратовски ?!». Обмен стеком. 21 ноября 2015 года.
13. Первин (1964), п. 43, упражнение 10.
14. Первин (1964), п. 49, теорема 3.4.3.
15. Первин (1964), п. 60, теорема 4.3.1.
16. Первин (1964), п. 66, упражнение 3.
17. Первин (1964), п. 67, упражнение 5.
18. Первин (1964), п. 69, теорема 5.1.1.
19. Первин (1964), п. 70, теорема 5.1.2.
20. Доказательство можно найти здесь связь.
21. Первин (1964) С. 193–196.
22. Первин (1964), п. 51.

Рекомендации

• Куратовски, Казимеж (1922) [1920], "Sur l'opération A de l'Analysis Situs" [Об операции A в Analysis Situs] (PDF), Fundamenta Mathematicae (На французском), 3, стр. 182–199, выложить резюме – Перевод Марка Боурона (2010).
• Куратовски, Казимеж (1966) [1958], Топология, я, перевод Дж. Яворовски, Academic Press, ISBN  0-12-429201-1, LCCN  66029221.
• Первин, Уильям Дж. (1964), Боас, Ральф П. младший (редактор), Основы общей топологии, Academic Press, ISBN  9781483225159, LCCN  64-17796.
• Архангельский, А.В .; Федорчук, В. (1990) [1988], Гамкрелидзе, Р.В .; Архангельский, А.В .; Понтрягин, Л. (ред.), Общая топология I, Энциклопедия математических наук, 17, перевод О'Ши, Д. Б., Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-642-64767-3, LCCN  89-26209.
• Монтейро, Антониу (Сентябрь 1943 г.), "Caractérisation de l'opération de fermeture par un seul axiome" [Характеризация операции замыкания одной аксиомой], Portugaliae mathematica (на французском языке) (опубликовано в 1945 г.), 4 (4), стр. 158–160, Zbl  0060.39406.

внешняя ссылка

• Альтернативные характеристики топологических пространств.