Внешний (математика) - External (mathematics)

Период, термин внешний полезен для описания некоторых алгебраических структур. Термин происходит от концепции внешняя двоичная операция это бинарная операция, основанная на некоторых внешний набор. Чтобы быть более конкретным, левая внешняя двоичная операция на S над р это функция ${\displaystyle f:R\times S\rightarrow S}$ и правая внешняя двоичная операция на S над р это функция ${\displaystyle f:S\times R\rightarrow S}$ где S - это набор, на котором определена операция, и р - внешний набор (набор, в котором операция определяется над).^[1]

Обобщения

В внешний понятие - это скорее обобщение, чем специализация, и поэтому оно отличается от многих терминов в математике. Похожая, но противоположная концепция - это концепция внутренняя двоичная функция из р к S, определяемая как функция ${\displaystyle f:R\times R\rightarrow S}$. Внутренние двоичные функции похожи на двоичные функции, но представляют собой форму специализации, поэтому они принимают только подмножество областей двоичных функций. Здесь мы перечисляем эти термины с функция подписи они подразумевают, наряду с некоторыми примерами:

• ${\displaystyle f:Q\times R\rightarrow S}$ (двоичная функция )
  • Пример: возведение в степень (${\displaystyle z^{q}:\mathbb {Z} \times \mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {C} }$ как в ${\displaystyle {(-1)}^{1/2}=i}$),
  • Пример: установить членство (${\displaystyle (\in ):\mathbf {Set} \times \mathbf {Set} \rightarrow \mathbb {B} }$ где ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ это категория наборов )
  • Примеры: матричное умножение, то тензорное произведение, а Декартово произведение
• ${\displaystyle f:R\times R\rightarrow S}$ (внутренняя двоичная функция)
  • Пример: внутренний бинарные отношения (${\displaystyle (\leq ):R\times R\rightarrow \mathbb {B} }$)
  • Примеры: скалярное произведение, то внутренний продукт, и метрики.
• ${\displaystyle f:R\times S\rightarrow S}$ (внешняя двоичная операция )
  • Примеры: динамическая система потоки, групповые действия, карты проекции, и скалярное умножение.
• ${\displaystyle f:S\times S\rightarrow S}$ (бинарная операция ).
  • Примеры: дополнение, умножение, перестановки, а перекрестное произведение.

Внешние моноиды

С моноиды определены в терминах бинарные операции, мы можем определить внешний моноид с точки зрения внешние бинарные операции. Для простоты, если не указано иное, оставили подразумевается внешняя бинарная операция. Используя термин внешний, мы можем сделать обобщения:

• An внешний магма ${\displaystyle (S,\times )}$ над р это набор S с внешней бинарной операцией. Это удовлетворяет ${\displaystyle r\times s\in S}$ для всех ${\displaystyle s\in S,r\in R}$ (внешний закрытие ).
• An внешний полугруппа ${\displaystyle (S,\times )}$ над ${\displaystyle (R,\cdot )}$ это внешняя магма, удовлетворяющая ${\displaystyle (r_{1}\cdot r_{2})\times s=r_{1}\times (r_{2}\times s)}$ для всех ${\displaystyle s\in S,r_{1},r_{2}\in R}$ (внешне ассоциативный ).
• An внешний моноид ${\displaystyle (S,\times )}$ над ${\displaystyle (R,\cdot )}$ - внешняя полугруппа, в которой существует ${\displaystyle 1\in R}$ такой, что ${\displaystyle 1\times s=s}$ для всех ${\displaystyle s\in S}$ (имеет внешние элемент идентичности ).

Модули как внешние кольца

Большая часть оборудования модули и векторные пространства довольно просты или обсуждались выше. Единственное, что еще не рассмотрено, - это аксиомы их распределения. Умножение внешнего кольца ${\displaystyle \otimes }$ внешне распределительный в ${\displaystyle (S,\oplus ,\otimes )}$ над звенеть ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ если только:

• ${\displaystyle r\otimes (s_{1}\oplus s_{2})=(r\otimes s_{1})\oplus (r\otimes s_{2})}$ для всех ${\displaystyle s_{1},s_{2}\in S,r\in R}$ и:
• ${\displaystyle (r_{1}+r_{2})\otimes s=(r_{1}\otimes s)\oplus (r_{2}\otimes s)}$ для всех ${\displaystyle s\in S,r_{1},r_{2}\in R}$

Используя эту терминологию, мы можем сделать следующие локальные обобщения:

• An внешнее полукольцо ${\displaystyle (S,\oplus ,\otimes )}$ над полукольцо ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ это коммутативный моноид ${\displaystyle (S,\oplus )}$ и внешний моноид ${\displaystyle (S,\otimes )}$ где ${\displaystyle \otimes }$ внешне распределительный в ${\displaystyle (S,\oplus ,\otimes )}$ над полукольцо ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$.
• An внешнее кольцо ${\displaystyle (S,\oplus ,\otimes )}$ над звенеть ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ является абелева группа ${\displaystyle (S,\oplus )}$ и внешний моноид ${\displaystyle (S,\otimes )}$ где ${\displaystyle \otimes }$ внешне распределительный в ${\displaystyle (S,\oplus ,\otimes )}$ над звенеть ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$.

Другие примеры

Теперь, когда у нас есть вся необходимая терминология, мы можем устанавливать простые связи между различными структурами:

• Сложное возведение в степень образует внешнее моноид ${\displaystyle (\mathbb {C} ,\uparrow )}$ над абелева группа ${\displaystyle (\mathbb {C} ,\cdot )}$.
• Основные леса факторизации образуют внешнюю полукольцо ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\cdot ,\uparrow )}$ над полукольцо ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,\cdot )}$.
• А динамическая система ${\displaystyle (T,S,\Phi )}$ является внешний моноид ${\displaystyle (S,\Phi )}$ над моноид ${\displaystyle (T,{+})}$.
• А полумодуль является внешнее полукольцо через полукольцо.
• А модуль является внешнее кольцо через звенеть.
• А векторное пространство является внешнее кольцо через поле.

Полезность

Можно утверждать, что у нас уже есть термины для описанных здесь концепций, например динамические системы, групповые действия, модули, и векторные пространства. Однако другой терминологии для внешний моноид для чего эта терминология дает нам краткое выражение. Прежде всего, это причина того, что этот термин должен быть использован в математическом сообществе.

Рекомендации

1. Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли, ISBN  0-201-01984-1