Гомотопическое подъемное свойство - Homotopy lifting property

В математика, в частности в теория гомотопии в пределах алгебраическая топология, то свойство гомотопического подъема (также известный как экземпляр право подъема собственности или покрывающая аксиома гомотопии) является техническим состоянием на непрерывная функция из топологическое пространство E к другому, B. Он предназначен для поддержки изображения E "над" B разрешив гомотопия происходит в B быть перемещенным "наверх" в E.

Например, карта покрытия имеет свойство уникальный локальный подъем дорожек на заданный лист; единственность состоит в том, что слои покрывающей карты дискретные пространства. Свойство гомотопического подъема будет выполняться во многих ситуациях, таких как проекция в векторный набор, пучок волокон или же расслоение, где нет необходимости в единственном способе подъема.

Формальное определение

Предположим, что с этого момента все отображения являются непрерывными функциями из одного топологического пространства в другое. Учитывая карту ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$, и пробел ${\displaystyle X\,}$, говорят, что ${\displaystyle (X,\pi )}$ обладает свойством гомотопического подъема,^[1][2] или это ${\displaystyle \pi \,}$ обладает свойством гомотопического подъема относительно ${\displaystyle X}$, если:

• для любого гомотопия ${\displaystyle f\colon X\times [0,1]\to B\,}$, и
• для любой карты ${\displaystyle {\tilde {f}}_{0}\colon X\to E}$ подъем ${\displaystyle f_{0}=f|_{X\times \{0\}}}$ (т.е. так, чтобы ${\displaystyle f_{0}=\pi \circ {\tilde {f}}_{0}\,}$),

существует гомотопия ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\times [0,1]\to E}$ подъем ${\displaystyle f\,}$ (т.е. так, чтобы ${\displaystyle f=\pi \circ {\tilde {f}}\,}$) который также удовлетворяет ${\displaystyle {\tilde {f}}_{0}={\tilde {f}}|_{X\times \{0\}}\,}$.

Следующая диаграмма изображает эту ситуацию.

Внешний квадрат (без пунктирной стрелки) коммутирует тогда и только тогда, когда гипотезы подъемное имущество верны. Подъем ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ соответствует пунктирной стрелке, перемещающей диаграмму. Эта диаграмма двойственна диаграмме свойство гомотопического расширения; эту двойственность в общих чертах называют Двойственность Экмана – Хилтона.

Если карта ${\displaystyle \pi \,}$ удовлетворяет свойству гомотопического подъема относительно все пробелы Икс, тогда ${\displaystyle \pi \,}$ называется расслоение, или иногда просто говорят, что ${\displaystyle \pi \,}$ обладает свойством гомотопического подъема.

Обратите внимание, что это определение расслоение в смысле Витольд Гуревич, что является более строгим, чем расслоение в смысле Жан-Пьер Серр, для которых гомотопический подъем только для ${\displaystyle X}$ а CW комплекс необходимо.

Обобщение: свойство продолжения гомотопического подъема

Существует общее обобщение свойства гомотопического подъема и свойство гомотопического расширения. Учитывая пару пространств ${\displaystyle X\supseteq Y}$, для простоты обозначим ${\displaystyle T\colon =(X\times \{0\})\cup (Y\times [0,1])\ \subseteq \ X\times [0,1]}$. Дается дополнительно карта ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$, говорят, что ${\displaystyle (X,Y,\pi )}$ имеет свойство расширения гомотопического подъема если:

• Для любого гомотопия ${\displaystyle f\colon X\times [0,1]\to B}$, и
• Для любого подъема ${\displaystyle {\tilde {g}}\colon T\to E}$ из ${\displaystyle g=f|_{T}}$,

существует гомотопия ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\times [0,1]\to E}$ который охватывает ${\displaystyle f}$ (т.е. такой, что ${\displaystyle \pi {\tilde {f}}=f}$) и расширяет ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ (т.е. такой, что ${\displaystyle {\tilde {f}}|_{T}={\tilde {g}}}$).

Свойство гомотопического подъема ${\displaystyle (X,\pi )}$ получается путем взятия ${\displaystyle Y=\emptyset }$, так что ${\displaystyle T}$ выше просто ${\displaystyle X\times \{0\}}$.

Свойство гомотопического продолжения ${\displaystyle (X,Y)}$ получается путем взятия ${\displaystyle \pi }$ быть постоянной картой, так что ${\displaystyle \pi }$ не имеет значения, поскольку каждая карта E является тривиальным поднятием постоянного отображения в точку изображения ${\displaystyle \pi }$.

Смотрите также

• Покрытие пространства
• Фибрация

Примечания

1. Ху, Сзе-Цен (1959). Теория гомотопии. стр.24
2. Хусемоллер, Дейл (1994). Пучки волокна. стр.7

Рекомендации

• Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-00548-6.
• Ху, Сзе-Цен (1959). Теория гомотопии (Третье издание, изд. 1965 г.). Нью-Йорк: Academic Press Inc. ISBN  0-12-358450-7.
• Хусемоллер, Дейл (1994). Пучки волокна (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-94087-8.
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-79540-0.

внешняя ссылка

• СРЕДНИЙ. Чернавский (2001) [1994], «Покрывающая гомотопия», Энциклопедия математики, EMS Press
• свойство гомотопического подъема в nLab