Хронология многообразий - Timeline of manifolds

Это график коллекторы, одно из основных геометрических понятий математики. Для получения дополнительной информации см. история многообразий и разновидностей.

Многообразия в современной математике бывают разных типов. К ним относятся:

• гладкий многообразий, которые являются основными в исчисление в нескольких переменных, математический анализ и дифференциальная геометрия;
• кусочно-линейный коллекторы;
• топологические многообразия.

Есть также родственные классы, например гомологические многообразия и орбифолды, напоминающие многообразия. Понадобилось поколение, чтобы появилась ясность после первоначальной работы Анри Пуанкаре, по основным определениям; и следующее поколение, чтобы более точно различать три основных класса. Низкоразмерная топология (то есть размерности 3 и 4 на практике) оказалась более устойчивой, чем высшая размерность, в прояснении наследия Пуанкаре. Дальнейшее развитие принесло свежие геометрические идеи, концепции из квантовой теории поля и активное использование теории категорий.

На участников первой фазы аксиоматизации оказали влияние Дэвид Гильберт: с Аксиомы Гильберта в качестве примера Третья проблема Гильберта как решил Ден, один из актеров, Пятнадцатая проблема Гильберта из потребностей геометрии XIX века. Предметом многообразий является нить, общая для алгебраическая топология, дифференциальная топология и геометрическая топология.

Хронология до 1900 года и Анри Пуанкаре

Год	Авторы	Мероприятие
18-ый век	Леонард Эйлер	Теорема Эйлера на многогранниках, «триангулирующих» двумерную сферу. Подразделение выпуклого многоугольника с п стороны в п треугольников, посредством любой внутренней точки, добавляет п ребра, одна вершина и п - 1 лиц, с сохранением результата. Так что случай триангуляции собственно следует общий результат.
1820–3	Янош Бойяи	Развивается неевклидова геометрия, в частности гиперболическая плоскость.
1822	Жан-Виктор Понселе	Восстанавливает реальный проективная геометрия, в том числе реальная проективная плоскость.[1]
1825 г.	Джозеф Диез Гергонн, Жан-Виктор Понселе	Геометрические свойства комплексная проективная плоскость.[2]
1840	Герман Грассманн	Общий п-мерные линейные пространства.
1848	Карл Фридрих Гаусс Пьер Оссиан Бонне	Теорема Гаусса – Бонне для дифференциальной геометрии замкнутых поверхностей.
1851	Бернхард Риманн	Введение Риманова поверхность в теорию аналитическое продолжение.[3] Римановы поверхности - это комплексные многообразия размерности 1, в этой настройке представлен как разветвленные перекрытия из Сфера Римана (в сложная проективная линия ).
1854	Бернхард Риманн	Римановы метрики дают представление о внутренней геометрии многообразий любой размерности.
1861	Фольклорное произведение с 1850 г.	Первая традиционная публикация Теорема Кельвина – Стокса, в трех измерениях, связывая интегралы по объему с интегралами на его границе.
1870-е годы	Софус Ли	В Группа Ли концепция разработана с использованием локальных формул.[4]
1872	Феликс Кляйн	Кляйна Программа Эрланген делает акцент на однородные пространства для классические группы, как класс многообразий, лежащих в основе геометрии.
позже 1870-х	Улисс Дини	Дини развивает теорема о неявной функции, основной инструмент для локального построения многообразий как нулевые наборы из гладкие функции.[5]
с 1890-х	Эли Картан	Формулировка Гамильтонова механика с точки зрения котангенсный пучок многообразия, конфигурационное пространство.[6]
1894	Анри Пуанкаре	Фундаментальная группа топологического пространства. В Гипотеза Пуанкаре теперь можно сформулировать.
1895	Анри Пуанкаре	Симплициальные гомологии.
1895	Анри Пуанкаре	Фундаментальная работа Место анализа, начало алгебраическая топология. Основная форма Двойственность Пуанкаре для ориентируемое многообразие (компактный) формулируется как центральная симметрия Бетти числа.[7]

1900-1920 гг.

Год	Авторы	Мероприятие
1900	Дэвид Гильберт	Пятая проблема Гильберта поставил вопрос о характеристике Группы Ли среди группы трансформации, проблема частично решена в 1950-х годах. Пятнадцатая проблема Гильберта требовал строгого подхода к Исчисление Шуберта, филиал теория пересечений происходит в комплексе Грассманиан коллекторы.
1902	Дэвид Гильберт	Предварительная аксиоматизация (топологические пространства еще не определены) двумерных многообразий.[8]
1905	Макс Ден	Как предположение, Уравнения Дена-Сомервилля относящиеся численно триангулированные многообразия и симплициальные многогранники.[9]
1907	Анри Пуанкаре, Пол Кобе	В теорема униформизации за односвязный Римановы поверхности.
1907	Макс Ден, Пол Хегаард	Обзорная статья Analysis Situs в Энциклопедия Кляйна дает первое доказательство классификации поверхностей, обусловленное существованием триангуляции, и закладывает основы комбинаторная топология.[10][11][12] Работа также содержала комбинаторное определение «топологического многообразия», которое было предметом определяющего потока вплоть до 1930-х годов.[13]
1908	Генрих Франц Фридрих Титце	Получение квалификации для Венского университета предлагает другое предварительное определение «топологического многообразия» комбинаторными средствами.[13][14][15]
1908	Эрнст Стейниц, Титце	В Hauptvermutung, гипотеза о существовании общего измельчения двух триангуляций. Это была открытая проблема для многообразий до 1961 года.
1910	Л. Э. Дж. Брауэр	Теорема Брауэра о неизменность домена имеет следствие, что связное непустое многообразие имеет определенную размерность. Этот результат оставался открытой проблемой в течение трех десятилетий.[16] В том же году Брауэр приводит первый пример топологическая группа это не Группа Ли.[17]
1912	Л. Э. Дж. Брауэр	Брауэр публикует степень непрерывного отображения, предвещая фундаментальный класс концепция для ориентируемые многообразия.[18][19]
1913	Герман Вейль	Die Idee der Riemannschen Fläche дает модельное определение идеи многообразия в одномерном комплексном случае.
1915	Освальд Веблен	«Метод резки», комбинаторный подход к поверхностям, представленный на семинаре в Принстоне. Он используется для доказательства классификации поверхностей в 1921 г. Генри Рой Брахана.[20]

1920 г. - аксиомы 1945 г. для гомологии

Год	Авторы	Мероприятие
1923	Герман Кюннет	Формула Кюннета для гомологии произведения пространств.
1926	Хельмут Кнезер	Определяет «топологическое многообразие» как второе счетное хаусдорфово пространство с точками, имеющими окрестности, гомеоморфные открытым шарам; и "комбинаторное многообразие" индуктивным образом в зависимости от клеточный комплекс определение и Hauptvermutung.[21]
1926	Эли Картан	Классификация симметричные пространства, класс однородных пространств.
1926	Тибор Радо	Двумерный топологические многообразия есть триангуляции.[22]
1926	Хайнц Хопф	Теорема Пуанкаре – Хопфа, сумма индексов векторного поля с изолированными нулями на компактном дифференциальном многообразии M равно Эйлерова характеристика из M.
1926−7	Отто Шрайер	Определения топологическая группа и «непрерывная группа» (традиционный термин, в конечном итоге Группа Ли ) как локально евклидова топологическая группа). Он также представляет универсальный чехол в контексте.[23]
1928	Леопольд Виеторис	Определение h-многообразия комбинаторными средствами путем анализа доказательств, примененного к двойственности Пуанкаре.[24]
1929	Эгберт ван Кампен	В своей диссертации с помощью звездных комплексов для симплициальных комплексов восстанавливает двойственность Пуанкаре в комбинаторной обстановке.[25]
1930	Бартель Леендерт ван дер Варден	Преследуя цель создания основ Исчисление Шуберта в перечислительная геометрия, он исследовал Пуанкаре-Лефшеца теория пересечений для своей версии номер перекрестка в статье 1930 г. (учитывая триангулируемость алгебраические многообразия ).[26] В том же году он опубликовал заметку Комбинаторная топология на разговоре для Deutsche Mathematiker-Vereinigung, в котором он сделал обзор определений «топологического многообразия», данных на данный момент восемью авторами.[27]
около 1930	Эмми Нётер	Теория модулей и общие цепные комплексы разработаны Нётер и ее учениками, а алгебраическая топология начинается как аксиоматический подход, основанный на абстрактная алгебра.
1931	Жорж де Рам	Теорема де Рама: для компактного дифференциального многообразия цепной комплекс из дифференциальные формы вычисляет группы вещественных (ко) гомологий.[28]
1931	Хайнц Хопф	Представляет Расслоение Хопфа, ${\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}}$.
1931–2	Освальд Веблен, Дж. Х. К. Уайтхед	Тезис Уайтхеда 1931 г., Представление проективных пространств, написанная с Вебленом в качестве советника, дает внутреннее и аксиоматическое представление о многообразиях как Хаусдорфовы пространства при соблюдении определенных аксиом. Затем последовала совместная книга Основы дифференциальной геометрии (1932). Концепция "карты" Пуанкаре, локальной системы координат, организована в атлас; в этой настройке к функциям перехода могут применяться условия регулярности.[29][30][8] Эта основополагающая точка зрения позволяет псевдогруппа ограничение на функции перехода, например, чтобы ввести кусочно-линейные структуры.[31]
1932	Эдуард Чех	Когомологии Чеха.
1933	Соломон Лефшец	Особые гомологии топологических пространств.
1934	Марстон Морс	Теория Морса связывает вещественные гомологии компактных дифференциальных многообразий с критические точки из Функция Морса.[32]
1935	Хасслер Уитни	Доказательство теорема вложения, утверждая, что гладкое многообразие размерности п может быть вложено в евклидово пространство размерности 2п.[33]
1941	Витольд Гуревич	Первая фундаментальная теорема гомологической алгебры: для короткой точной последовательности пространств существует связывающий гомоморфизм такая, что длинная последовательность групп когомологий пространств точна.
1942	Лев Понтрягин	Понтрягин полностью опубликовал в 1947 году новую теорию кобордизм в результате чего замкнутое многообразие, являющееся краем, имеет исчезающие Числа Штифеля-Уитни. Согласно теореме Стокса классы кобордизма подмногообразий инвариантны для интегрирования замкнутые дифференциальные формы; введение алгебраических инвариантов открыло путь для вычислений с отношением эквивалентности как с чем-то внутренним.[34]
1943	Вернер Гайсин	Последовательность гизина и Гомоморфизм Гизина.
1943	Норман Стинрод	Гомологии с локальными коэффициентами.
1944	Сэмюэл Эйленберг	«Современное» определение особые гомологии и особые когомологии.
1945	Бено Экманн	Определяет кольцо когомологий опираясь на Хайнц Хопф работа. В случае многообразий существует несколько интерпретаций кольцевого произведения, в том числе клин дифференциальных форм, и чашка продукта представляющие пересекающиеся циклы.

1945 по 1960

Терминология: К этому периоду обычно предполагается, что многообразия являются многообразиями Веблена-Уайтхеда, поэтому локально евклидовы Хаусдорфовы пространства, но применение аксиомы счетности также становится стандартом. Веблен-Уайтхед не предполагал, в отличие от Кнезера, что многообразия являются второй счетный.^[35] Термин «отделимое многообразие», обозначающий вторые счетные многообразия, сохранился до конца 1950-х годов.^[36]

Год	Авторы	Мероприятие
1945	Saunders Mac Lane –Сэмюэл Эйленберг	Основание теория категорий: аксиомы для категории, функторы и естественные преобразования.
1945	Норман Стинрод –Сэмюэл Эйленберг	Аксиомы Эйленберга – Стинрода для гомологий и когомологий.
1945	Жан Лере	Фонды теория связок. Для Лере пучок был картой, сопоставляющей модуль или кольцо замкнутому подпространству топологического пространства. Первым примером был пучок, приписывающий замкнутому подпространству его п-я группа когомологий.
1945	Жан Лере	Определяет когомологии пучков.
1946	Жан Лере	Изобретает спектральные последовательности, метод итерационной аппроксимации групп когомологий.
1948	Картанский семинар	Пишет теория связок.
1949 г.	Норман Стинрод	В Проблема Стинрода, представления классов гомологии фундаментальные классы многообразий, можно решить с помощью псевдомногообразия (и позже сформулированный с помощью теории кобордизмов).[37]
1950	Анри Картан	В заметках по теории связок с семинара Картана он определяет: Пространство связки (эталонное пространство), поддерживать пучков аксиоматически, когомологии пучков с поддержкой. «Наиболее естественное доказательство двойственности Пуанкаре получается с помощью теории пучков».[38]
1950	Сэмюэл Эйленберг –Джо Зильбер	Симплициальные множества как чисто алгебраическая модель топологических пространств с хорошим поведением.
1950	Чарльз Эресманн	Теорема Эресмана о расслоении утверждает, что гладкая, собственная, сюръективная субмерсия между гладкими многообразиями является локально тривиальным расслоением.
1951	Анри Картан	Значение теория связок, с пучок определены с использованием открытых подмножеств (а не замкнутых подмножеств) топологического пространства. Пучки соединяют локальные и глобальные свойства топологических пространств.
1952	Рене Том	В Изоморфизм Тома приносит кобордизм многообразий в сферу теория гомотопии.
1952	Эдвин Э. Моис	Теорема Моиса установили, что трехмерное компактное связное топологическое многообразие является Коллектор PL (ранняя терминология «комбинаторное многообразие»), имеющая уникальную структуру PL. В частности, это триангулируемость.[39] Теперь известно, что этот результат не распространяется на более высокие измерения.
1956	Джон Милнор	Первый экзотические сферы были построены Милнором в размерности 7, как ${\displaystyle S^{3}}$-бутует ${\displaystyle S^{4}}$. Он показал, что на 7-сфере существует не менее 7 дифференцируемых структур.
1960	Джон Милнор и Сергей Новиков	В кольцо классов кобордизма стабильно комплексных многообразий представляет собой кольцо многочленов от бесконечного числа образующих положительных четных степеней.

1961-1970 гг.

Год	Авторы	Мероприятие
1961	Стивен Смейл	Доказательство обобщенного Гипотеза Пуанкаре в размерах больше четырех.
1962	Стивен Смейл	Доказательство час-теорема -кобордизм в размерах больше четырех, исходя из Уитни уловка.
1963	Мишель Кервер –Джон Милнор	Классификация экзотических сфер: моноид гладких структур на п-сфера - это совокупность ориентированных гладких п-многообразия, гомеоморфные ${\displaystyle S^{n}}$, взятая с сохранением ориентации диффеоморфизмом, с связанная сумма как моноидная операция. За ${\displaystyle n\neq 4}$, этот моноид является группой и изоморфен группе ${\displaystyle \Theta _{n}}$ из час-кобордизм классы ориентированной гомотопии п-сферы, которые конечны и абелевы.
1965	Деннис Барден	Завершает классификацию односвязных компактных 5-коллекторы, созданный Смейлом в 1962 году.
1967	Фридхельм Вальдхаузен	Определяет и классифицирует трехмерное графовые многообразия.
1968	Робион Кирби и Лоран К. Зибенманн	По крайней мере в пяти измерениях Класс Кирби – Зибенмана является единственным препятствием на пути к топологическому многообразию, имеющему PL-структуру.[40]
1969	Лоран К. Зибенманн	Пример двух гомеоморфных PL-многообразий, не являющихся кусочно-линейно гомеоморфными.[41] В максимальный атлас подход к структурам на многообразиях прояснил Hauptvermutung для топологического многообразия M, как трихотомия. M может не иметь триангуляции, следовательно, и кусочно-линейного максимального атласа; он может иметь уникальную структуру PL; или он может иметь более одного максимального атласа и, следовательно, более одной структуры PL. Статус гипотезы о том, что всегда имел место второй вариант, прояснился на этом этапе в форме того, что каждый из трех случаев может применяться в зависимости от M. «Гипотеза комбинаторной триангуляции» утверждала, что первый случай невозможен, поскольку M компактный.[42] Результат Кирби – Зибенмана опровергает эту гипотезу. Пример Зибенманна показал, что третий случай также возможен.
1970	Джон Конвей	Теория мотков узлов: Вычисление инвариантов узлов с помощью мотки модули. Модули Skein могут быть основаны на квантовые инварианты.

1971–1980

Год	Авторы	Мероприятие
1974	Шиинг-Шен Черн –Джеймс Саймонс	Теория Черна – Саймонса: Конкретный TQFT, который описывает инварианты узлов и многообразий, в то время только в 3D.
1978	Франсуа Байен – Моше Флато – Крис Фронсдаль–Андре Лихнерович –Дэниел Штернхаймер	Квантование деформации, позже будет частью категориального квантования

1981–1990

Год	Авторы	Мероприятие
1984	Владимир Бажанов – Разумов Строганов	Бажанов – Строганов d-простое уравнение обобщение уравнения Янга – Бакстера и уравнения Замолодчикова
1986	Иоахим Ламбек –Фил Скотт	Так называемый Основная теорема топологии: Секционный функтор Γ и росток-функтор Λ устанавливают двойственное соединение между категорией предпучков и категорией расслоений (над одним и тем же топологическим пространством), которое ограничивается двойственной эквивалентностью категорий (или двойственностью) между соответствующими полными подкатегориями связки и эталонные связки
1986	Питер Фрейд –Дэвид Йеттер	Строит (компактную плетеную) моноидальную категория колтунов
1986	Владимир Дринфельд –Мичио Джимбо	Квантовые группы: Другими словами, квазитреугольная Алгебры Хопфа. Дело в том, что категории представлений квантовых групп тензорные категории с дополнительной структурой. Они используются при строительстве квантовые инварианты узлов и звеньев и многообразий малой размерности, среди других приложений.
1987	Владимир Дринфельд –Жерар Лаумон	Формулирует геометрическая программа Ленглендса
1987	Владимир Тураев	Начинается квантовая топология используя квантовые группы и R-матрицы дать алгебраическое объединение большинства известных узловые многочлены. Особенно важно было Воан Джонс и Эдвард Виттен работает над Многочлен Джонса.
1988	Грэм Сигал	Эллиптические объекты: Функтор, который представляет собой категоризированную версию векторного пучка, снабженного связью, это двумерный параллельный транспорт для строк.
1988	Грэм Сигал	Конформная теория поля: Симметричный моноидальный функтор ${\displaystyle Z\colon \operatorname {nCob} _{\mathbb {C} }\to \operatorname {Hilb} }$ удовлетворение некоторых аксиом
1988	Эдвард Виттен	Топологическая квантовая теория поля (TQFT ): Моноидальный функтор ${\displaystyle Z\colon \operatorname {nCob} \to \operatorname {Hilb} }$ удовлетворение некоторых аксиом
1988	Эдвард Виттен	Топологическая теория струн
1989	Эдвард Виттен	Понимание Многочлен Джонса с помощью Теория Черна – Саймонса, что приводит к инвариантам для трехмерных многообразий
1990	Николай Решетихин –Владимир Тураев –Эдвард Виттен	Инварианты Решетихина – Тураева – Виттена. узлов из модульные тензорные категории представительств квантовые группы.

1991–2000

Год	Авторы	Мероприятие
1991	Андре Жоял –Росс-стрит	Формализация Пенроуза строковые диаграммы рассчитывать с абстрактные тензоры в различных моноидальные категории с дополнительной структурой. Исчисление теперь зависит от связи с низкоразмерная топология.
1992	Джон Гринлис–Питер Мэй	Двойственность Гринлис – Мэй
1992	Владимир Тураев	Модульные тензорные категории. Специальный тензорные категории которые возникают в строительстве инварианты узлов, при строительстве TQFT и CFTs, как усечение (полупростое частное) категории представлений квантовая группа (в корнях единства), как категории представлений слабых Алгебры Хопфа, как категория представлений RCFT.
1992	Владимир Тураев –Олег Виро	Модели государственной суммы Тураева – Виро на основе сферические категории (модели первой государственной суммы) и Инварианты суммы состояний Тураева – Виро для 3-многообразий.
1992	Владимир Тураев	Теневой мир ссылок: Тени ссылок задавать теневые инварианты ссылок по тени государственные суммы.
1993	Рут Лоуренс	Расширенные TQFT
1993	Дэвид Йеттер –Луи Крейн	Модели суммы состояний Крейна – Йеттера на основе категории лент и Инварианты суммы состояний Крейна – Йеттера для 4-многообразий.
1993	Кенджи Фукая	А∞-категории и А∞-функторы. А∞-категории также можно просматривать как некоммутативные формальные dg-многообразия с замкнутой выделенной подсхемой объектов.
1993	Джон Баррет -Брюс Вестбери	Сферические категории: Моноидальные категории с дуалами для диаграмм на сферах, а не на плоскости.
1993	Максим Концевич	Концевича инварианты для узлов (представляют собой интегралы Фейнмана в разложении возмущений для Функциональный интеграл Виттена ), определяемый интегралом Концевича. Они универсальные Инварианты Васильева для узлов.
1993	Дэниел Фрид	Новый взгляд на TQFT с помощью модульные тензорные категории который объединяет 3 подхода к TQFT (модульные тензорные категории из интегралов по путям).
1994	Максим Концевич	Формулирует гомологическая зеркальная симметрия гипотеза: X - компактное симплектическое многообразие с первым классом Черна c1(Икс) = 0 и Y компактное многообразие Калаби – Яу являются зеркальными парами тогда и только тогда, когда D(ФукИкс) (производная категория Триангулированная категория Фукая из Икс состряпанных из лагранжевых циклов с локальными системами) эквивалентно подкатегории Dб(КоY) (ограниченная производная категория когерентных пучков на Y).
1994	Луи Крейн –Игорь Френкель	Категории хопфа и строительство 4D TQFT ими. Определяет k-tuply моноидальная п-категории. Он отражает таблицу гомотопические группы сфер.
1995	Джон Баэз –Джеймс Долан	Набросайте программу, в которой п-размерный TQFT описаны как представления n-категорий.
1995	Джон Баэз –Джеймс Долан	Предлагает п-размерный квантование деформации.
1995	Джон Баэз –Джеймс Долан	Гипотеза клубка: The п-категория обрамленных п-спутников в n + k измерениях есть (п + k) -эквивалентно свободному слабому k-tuply моноидальная п-категория с двойниками по одному объекту.
1995	Джон Баэз –Джеймс Долан	Гипотеза кобордизма (Расширенная гипотеза TQFT I): п-категория п-мерные расширенные TQFT представляют собой представления nCob - свободная стабильная слабая п-категория с двойниками по одному объекту.
1995	Джон Баэз –Джеймс Долан	Расширенная гипотеза TQFT II: An п-мерный унитарный расширенный ТКТП является слабым п-функтор, сохраняющий все уровни двойственности, от бесплатного стабильного слабого п-категория с двойниками по одному объекту на nHilb.
1995	Валентин Лычагин	Категориальное квантование
1997	Максим Концевич	Формальный квантование деформации Теорема: Каждый Пуассоново многообразие допускает дифференцируемую звездный продукт и классифицируются с точностью до эквивалентности формальными деформациями пуассоновской структуры.
1998	Ричард Томас	Томас, ученик Саймон Дональдсон, представляет Инварианты Дональдсона – Томаса которые являются системами числовых инвариантов комплексных ориентированных трехмерных многообразий Икс, аналогично Инварианты Дональдсона в теории 4-многообразий.
1998	Максим Концевич	Категории Калаби – Яу: А линейная категория с картой трассировки для каждого объекта категории и связанной симметричной (по отношению к объектам) невырожденной парой к карте трассировки. Если Икс гладкая проективная Сорт Калаби – Яу измерения d тогда ${\displaystyle D^{b}(\operatorname {Coh} (X))}$ является единым Калаби – Яу А∞-категория измерения Калаби – Яу d. Категория Калаби – Яу с одним объектом называется Алгебра Фробениуса.
1999	Джозеф Бернштейн –Игорь Френкель –Михаил Хованов	Категории Темперли – Либа: Объекты пронумерованы неотрицательными целыми числами. Множество гомоморфизмов из объекта п для объекта м это бесплатный р-модуль с основанием над кольцом ${\displaystyle R}$, куда ${\displaystyle R}$ задается изотопическими классами систем ${\displaystyle (n|+|m|)/2}$ простые попарно непересекающиеся дуги внутри горизонтальной полосы на плоскости, попарно соединяющиеся |п| точки внизу и |м| точки вверху в некотором порядке. Морфизмы составляются путем объединения их диаграмм. Категории Темперли – Либа разбиты на категории Алгебры Темперли – Либа.
1999	Мойра Час–Деннис Салливан	Конструкции строковая топология когомологиями. Это теория струн на общих топологических многообразиях.
1999	Михаил Хованов	Гомологии Хованова: Теория гомологий для узлов, размерность групп которых является коэффициентами Многочлен Джонса узла.
1999	Владимир Тураев	Гомотопическая квантовая теория поля HQFT
1999	Рональд Браун - Георгий Джанелидзе	Двумерная теория Галуа.
2000	Яков Элиашберг –Александр Гивенталь –Хельмут Хофер	Симплектическая теория поля SFT: Функтор ${\displaystyle Z}$ от геометрической категории оснащенных гамильтоновых структур и оснащенных кобордизмов между ними до алгебраической категории некоторых дифференциальных D-модулей и интегральных операторов Фурье между ними и удовлетворяющих некоторым аксиомам.

2001 – настоящее время

Год	Авторы	Мероприятие
2003	Григорий Перельман	Перельманом доказательство Гипотеза Пуанкаре в измерении 3 с использованием Риччи поток. Доказательство более общее.[43]
2004	Стивен Штольц –Питер Тайхнер	Определение nD квантовая теория поля степени p, параметризованной многообразием.
2004	Стивен Штольц –Питер Тайхнер	Программа для строительства Топологические модульные формы как пространство модулей суперсимметричных евклидовых теорий поля. Они предположили картину Штольца – Тайхнера (аналогию) между классификация пространств теорий когомологий в хроматическая фильтрация (когомологии де Рама, K-теория, K-теории Моравы) и пространства модулей суперсимметричных КТП, параметризованных многообразием (доказано в 0D и 1D).
2005	Питер Озсват –Золтан Сабо	Узел Флоера гомологии
2008	Брюс Бартлетт	Примат точечной гипотезы: п-мерный унитарный расширенный ТКПП полностью описывается п-Гильбертово пространство ставится в точку. Это переформулировка гипотеза кобордизма.
2008	Майкл Хопкинс –Джейкоб Лурье	Набросок доказательства Баез-Долана гипотеза путаницы и Баез-Долан гипотеза кобордизма, которые классифицируют расширенный TQFT во всех измерениях.
2016	Чиприан Манолеску	Опровержение «гипотезы о триангуляции» с доказательством того, что в размерности не менее пяти существует компактное топологическое многообразие, не гомеоморфное симплициальному комплексу.[44]

Смотрите также

• дифференцируемый стек
• гипотеза кобордизма
• гомология факторизации
• Теория Кураниши
• Гомология Флоера
• Глоссарий алгебраической топологии
• Хронология бордизма

Примечания

1. Кокстер, Х. С. М. (2012-12-06). Реальная проективная плоскость. Springer Science & Business Media. С. 3–4. ISBN  9781461227342. Получено 16 января 2018.
2. Бюкенхаут, Фрэнсис; Коэн, Арджех М. (26 января 2013 г.). Геометрия диаграммы: относящаяся к классическим группам и зданиям. Springer Science & Business Media. п. 366. ISBN  9783642344534. Получено 16 января 2018.
3. Гарсия, Эмилио Бухаланс; Costa, A. F .; Мартинес, Э. (14 июня 2001 г.). Темы о римановых поверхностях и фуксовых группах. Издательство Кембриджского университета. п. ix. ISBN  9780521003506. Получено 17 января 2018.
4. Платонов, Владимир Петрович (2001) [1994], "Группа Ли", Энциклопедия математики, EMS Press
5. Джеймс, Иоан М. (1999-08-24). История топологии. Эльзевир. п. 31. ISBN  9780080534077. Получено 30 июн 2018.
6. Стейн, Эрвин (4 декабря 2013 г.). История теоретической, материальной и вычислительной механики - математика встречается с механикой и инженерией. Springer Science & Business Media. С. 70–1. ISBN  9783642399053. Получено 6 января 2018.
7. Дьедонне, Жан (2009-09-01). История алгебраической и дифференциальной топологии, 1900 - 1960 гг.. Springer Science & Business Media. п. 7. ISBN  9780817649074. Получено 4 января 2018.
8. Джеймс, И.М. (1999-08-24). История топологии. Эльзевир. п. 47. ISBN  9780080534077. Получено 17 января 2018.
9. Эффенбергер, Феликс (2011). Гамильтоновы подмногообразия правильных многогранников. Logos Verlag Berlin GmbH. п. 20. ISBN  9783832527587. Получено 15 июн 2018.
10. Ден, Макс; Heegaard, Poul (1907). «Анализ места». Энзиклоп. d. математика. Wissensch. III. С. 153–220. JFM  38.0510.14.
11. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., «Хронология многообразий», Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
12. Пайфер, Дэвид (2015). "Макс Ден и истоки топологии и теории бесконечных групп" (PDF). Американский математический ежемесячник. 122 (3): 217. Дои:10.4169 / amer.math.monthly.122.03.217. S2CID  20858144.
13. Джеймс, Иоан М. (1999-08-24). История топологии. Эльзевир. п. 54. ISBN  9780080534077. Получено 15 июн 2018.
14. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., «Хронология многообразий», Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
15. Килли, Вальтер; Фирхаус, Рудольф (30 ноября 2011 г.). Тибо - Зыча. Вальтер де Грюйтер. п. 43. ISBN  9783110961164. Получено 15 июн 2018.
16. Фройденталь, Ганс (12 мая 2014 г.). Собрание сочинений Л. Э. Дж. Брауэра: геометрия, анализ, топология и механика.. Elsevier Science. п. 435. ISBN  9781483257549. Получено 6 января 2018.
17. Дален, Дирк Ван (2012-12-04). L.E.J. Брауэр - тополог, интуиционист, философ: как математика коренится в жизни. Springer Science & Business Media. п. 147. ISBN  9781447146162. Получено 30 июн 2018.
18. Моухин, Жан (2001) [1994], "Степень Брауэра", Энциклопедия математики, EMS Press
19. Дален, Дирк Ван (2012-12-04). L.E.J. Брауэр - тополог, интуиционист, философ: как математика коренится в жизни. Springer Science & Business Media. п. 171. ISBN  9781447146162. Получено 30 июн 2018.
20. Галье, Жан; Сюй, Дианна (2013). Руководство по теореме классификации компактных поверхностей. Springer Science & Business Media. п. 156. ISBN  9783642343643.
21. Джеймс, И. М. (1999-08-24). История топологии. Эльзевир. С. 52–3. ISBN  9780080534077. Получено 15 июн 2018.
22. Джеймс, И.М. (1999-08-24). История топологии. Эльзевир. п. 56. ISBN  9780080534077. Получено 17 января 2018.
23. Бурбаки, Н. (01.12.2013). Элементы истории математики. Springer Science & Business Media. с. 264 примечание 20. ISBN  9783642616938. Получено 30 июн 2018.
24. Джеймс, И. М. (1999-08-24). История топологии. Эльзевир. п. 54. ISBN  9780080534077. Получено 15 июн 2018.
25. Джеймс, И. М. (1999-08-24). История топологии. Эльзевир. п. 54. ISBN  9780080534077. Получено 15 июн 2018.
26. Фултон, В. (29 июня 2013 г.). Теория пересечения. Springer Science & Business Media. п. 128. ISBN  9783662024218. Получено 15 июн 2018.
27. Джеймс, И.М. (1999-08-24). История топологии. Эльзевир. п. 54. ISBN  9780080534077. Получено 15 июн 2018.
28. "Теорема де Рама", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
29. Джеймс, И. М. (1999-08-24). История топологии. Эльзевир. п. 56. ISBN  9780080534077. Получено 17 января 2018.
30. Уолл, К.Т.С. (04.07.2016). Дифференциальная топология. Издательство Кембриджского университета. п. 34. ISBN  9781107153523. Получено 17 января 2018.
31. Джеймс, И.М. (1999-08-24). История топологии. Эльзевир. п. 495. ISBN  9780080534077. Получено 17 января 2018.
32. Постников, М.М.; Рудяк, Ю. Б. (2001) [1994], "Теория Морса", Энциклопедия математики, EMS Press
33. Басенер, Уильям Ф. (12 июня 2013 г.). Топология и ее приложения. Джон Вили и сыновья. п. 95. ISBN  9781118626221. Получено 1 января 2018.
34. Общество, канадское математическое общество (1971). Канадский математический бюллетень. Канадское математическое общество. п. 289. Получено 6 июля 2018.
35. Джеймс, И.М. (1999-08-24). История топологии. Эльзевир. п. 55. ISBN  9780080534077. Получено 15 июн 2018.
36. Милнор, Джон Уиллард; Макклири, Джон (2009). Гомотопии, гомологии и многообразия. American Mathematical Soc. п. 6. ISBN  9780821844755. Получено 15 июн 2018.
37. Рудяк, Ю. Б. (2001) [1994], "Проблема Стинрода", Энциклопедия математики, EMS Press
38. Скляренко, Е. Г. (2001) [1994], «Двойственность Пуанкаре», Энциклопедия математики, EMS Press
39. Спреер, Джонатан (2011). Раздутий, срезов и групп перестановок в комбинаторной топологии. Logos Verlag Berlin GmbH. п. 39. ISBN  9783832529833. Получено 2 июля 2018.
40. Фрид, Дэниел С.; Уленбек, Карен К. (2012-12-06). Инстантоны и четырехмерные многообразия. Springer Science & Business Media. п. 1. ISBN  9781461397038. Получено 6 июля 2018.
41. Рудяк, Юлий (28.12.2015). Кусочно-линейные структуры на топологических многообразиях.. World Scientific. п. 81. ISBN  9789814733809. Получено 6 июля 2018.
42. Раники, Эндрю А .; Кассон, Эндрю Дж.; Салливан, Деннис П.; Armstrong, M.A .; Рурк, Колин П.; Кук, Г. (2013-03-09). Книга Hauptvermutung: Сборник статей по топологии многообразий. Springer Science & Business Media. п. 5. ISBN  9789401733434. Получено 7 июля 2018.
43. Морган, Джон В .; Тиан, Банда (2007). Поток Риччи и гипотеза Пуанкаре. American Mathematical Soc. п. ix. ISBN  9780821843284.
44. Манолеску, Чиприан (2016), "Пин (2) -эквивариантные гомологии Зайберга – Виттена Флоера и гипотеза триангуляции", Журнал Американского математического общества, 29: 147–176, arXiv:1303.2354, Дои:10.1090 / jams829, S2CID  16403004