Категория ленты - Ribbon category

В математика, а категория ленты, также называемый категория черепах, это особый тип плетеная моноидальная категория.

Определение

А моноидальная категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ это, грубо говоря, категория снабженный понятием, напоминающим тензорное произведение (скажем, векторных пространств). То есть для любых двух объектов ${\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}}$, есть объект ${\displaystyle C_{1}\otimes C_{2}\in {\mathcal {C}}}$. Назначение ${\displaystyle C_{1},C_{2}\mapsto C_{1}\otimes C_{2}}$ должен быть функториальный и требуется ряд дополнительных свойств, таких как объект 1 и изоморфизм ассоциативности. Такая категория называется плетеной, если есть изоморфизмы

${\displaystyle c_{C_{1},C_{2}}:C_{1}\otimes C_{2}{\stackrel {\cong }{\rightarrow }}C_{2}\otimes C_{1}.}$

Сплетенная моноидальная категория называется ленточной категорией, если категория оставлена жесткий и имеет семью повороты. Первое означает, что для каждого объекта ${\displaystyle C}$ есть еще один объект (называемый левым двойной ), ${\displaystyle C^{*}}$, с картами

${\displaystyle 1\rightarrow C\otimes C^{*},C^{*}\otimes C\rightarrow 1}$

так что композиции

${\displaystyle C^{*}\cong C^{*}\otimes 1\rightarrow C^{*}\otimes (C\otimes C^{*})\cong (C^{*}\otimes C)\otimes C^{*}\rightarrow 1\otimes C^{*}\cong C^{*}}$

равно идентичности ${\displaystyle C^{*}}$, и аналогично с ${\displaystyle C}$. Повороты карты

${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle \theta _{C}:C\rightarrow C}$

такой, что

${\displaystyle \theta _{C_{1}\otimes C_{2}}=c_{C_{2},C_{1}}c_{C_{1},C_{2}}(\theta _{C_{1}}\otimes \theta _{C_{2}}).}$

Чтобы быть категорией лент, дуальные должны быть определенным образом совместимы с плетением и скручиванием.

Примером может служить категория проективные модули через коммутативное кольцо. В этой категории моноидальной структурой является тензорное произведение, двойственный объект - это двойной в смысле (линейной) алгебры, которая снова является проективной. Изюминки в этом случае - карты идентичности. Более сложным примером категории лент являются конечномерные представления квантовая группа.^[1]

Название категории ленты мотивировано графическим изображением морфизмов.^[2]

Вариант

А категория строго ленточная это категория ленты C оснащен структура кинжала так что функтор †: C^op → C когерентно сохраняет структуру ленты.

Рекомендации

1. Тураева, см. Главу XI.
2. Тураева, см. С. 25.

• Самсон Абрамский и Боб Кук, Категориальная семантика квантовых протоколов, Труды 19-го Симпозиум IEEE по логике в компьютерных науках (LICS'04). Издательство IEEE Computer Science Press (2004 г.).
• Тураев, В.: Квантовые инварианты узлов и трехмерных многообразий., де Грюйтер, 1994
• Йеттер, Дэвид Н .: Функториальная теория узлов, World Scientific, 2001 г.
• Категория ленты в nLab