Теорема Пуанкаре – Хопфа - Poincaré–Hopf theorem

В математика, то Теорема Пуанкаре – Хопфа (также известный как Формула индекса Пуанкаре – Хопфа, Теорема Пуанкаре – Хопфа об индексе, или Теорема Хопфа об индексе) - важная теорема, которая используется в дифференциальная топология. Он назван в честь Анри Пуанкаре и Хайнц Хопф.

В Пуанкаре – Хопф Теорема часто иллюстрируется частным случаем теорема о волосатом шарике, который просто утверждает, что не существует гладкого векторное поле на четномерном n-сфера не имеющие источников или стоков.

Согласно теореме Пуанкаре-Хопфа, замкнутые траектории могут окружать два центра и одно седло или один центр, но не только седло. (Здесь в случае Гамильтонова система )

Официальное заявление

Позволять ${ displaystyle M}$ - дифференцируемое многообразие размерности ${ displaystyle n}$ , и ${ displaystyle v}$ векторное поле на ${ displaystyle M}$ . Предположим, что ${ displaystyle x}$ является изолированным нулем ${ displaystyle v}$ и исправить некоторые местные координаты около ${ displaystyle x}$ . Выберите закрытый шар ${ displaystyle D}$ сосредоточен на ${ displaystyle x}$ , так что ${ displaystyle x}$ единственный ноль из ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle D}$ . Тогда показатель из ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle x}$ , ${ displaystyle operatorname {index} _ {x} (v)}$ , можно определить как степень карты ${ displaystyle u: partial D to mathbb {S} ^ {n-1}}$ от граница из ${ displaystyle D}$ к ${ Displaystyle (п-1)}$ -сфера, данная ${ Displaystyle и (г) = v (г) / | v (г) |}$ .

Теорема. Позволять ${ displaystyle M}$ быть компактный дифференцируемое многообразие. Позволять ${ displaystyle v}$ быть векторное поле на ${ displaystyle M}$ с изолированными нулями. Если ${ displaystyle M}$ имеет граница, то мы настаиваем на том, чтобы ${ displaystyle v}$ указывать в нормальном направлении наружу вдоль границы. Тогда у нас есть формула

{ displaystyle sum _ {i} operatorname {index} _ {x_ {i}} (v) = chi (M) ,}

где сумма индексов берется по всем изолированным нулям ${ displaystyle v}$ и ${ Displaystyle чи (М)}$ это Эйлерова характеристика из ${ displaystyle M}$ . Особенно полезное следствие - когда существует неисчезающее в нуль векторное поле, подразумевающее эйлерову характеристику 0.

Теорема была доказана для двух измерений Анри Пуанкаре и позже обобщен на более высокие измерения Хайнц Хопф.

Значение

Эйлерова характеристика замкнутой поверхности - это чисто топологический концепция, тогда как индекс векторного поля чисто аналитический. Таким образом, эта теорема устанавливает глубокую связь между двумя, казалось бы, не связанными областями математики. Возможно, столь же интересно, что доказательство этой теоремы в значительной степени опирается на интеграция, и, в частности, Теорема Стокса, который утверждает, что интеграл от внешняя производная из дифференциальная форма равен интегралу этой формы по границе. В частном случае многообразие без границы это означает, что интеграл равен 0. Но, исследуя векторные поля в достаточно малой окрестности источника или стока, мы видим, что источники и стоки вносят свой вклад целое число сумм (называемых индексом) к общей сумме, и все они должны быть равны 0. Этот результат можно считать^{[кем? ]} одна из самых ранних теорем из целого ряда^{[который? ]} установление глубоких отношений между геометрический и аналитический или физический концепции. Они играют важную роль в современных исследованиях обеих областей.

Эскиз доказательства

1. Вставить M в некотором многомерном евклидовом пространстве. (Использовать Теорема вложения Уитни.)

2. Возьмите небольшой район M в этом евклидовом пространстве, N_ε. Расширьте векторное поле до этой окрестности, чтобы в нем остались те же нули, а нули имели те же индексы. Кроме того, убедитесь, что расширенное векторное поле на границе N_ε направлено наружу.

3. Сумма индексов нулей старого (и нового) векторного поля равна степени Карта Гаусса от границы N_ε к (п–1) -мерный сфера. Таким образом, сумма индексов не зависит от реального векторного поля и зависит только от многообразия M. Техника: вырезать все нули векторного поля с небольшими окрестностями. Затем воспользуйтесь тем фактом, что степень отображения границы n-мерного многообразия в (п–1) -мерный сфера, которая может быть продолжена на все n-мерное многообразие, равна нулю.

4. Наконец, идентифицируйте эту сумму индексов как эйлерову характеристику M. Для этого создайте очень конкретное векторное поле на M с помощью триангуляция из M для которого ясно, что сумма индексов равна эйлеровой характеристике.

Обобщение

По-прежнему можно определить индекс для векторного поля с неизолированными нулями. Конструкция этого индекса и расширение теоремы Пуанкаре – Хопфа для векторных полей с неизолированными нулями описаны в разделе 1.1.2 книги (Brasselet, Seade & Suwa 2009 ).

Смотрите также

использованная литература

«Теорема Пуанкаре – Хопфа», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Брасселе, Жан-Поль; Сид, Хосе; Сува, Тацуо (2009). Векторные поля на особых многообразиях. Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-642-05205-7.