Комплексная проективная плоскость - Complex projective plane - Wikipedia

В математика, то комплексная проективная плоскость, обычно обозначается п²(C), является двумерным сложное проективное пространство. Это комплексное многообразие комплексной размерности 2, описываемой тремя комплексными координатами

${\displaystyle (Z_{1},Z_{2},Z_{3})\in \mathbf {C} ^{3},\qquad (Z_{1},Z_{2},Z_{3})\neq (0,0,0)}$

где, однако, идентифицируются тройки, отличающиеся общим масштабированием:

${\displaystyle (Z_{1},Z_{2},Z_{3})\equiv (\lambda Z_{1},\lambda Z_{2},\lambda Z_{3});\quad \lambda \in \mathbf {C} ,\qquad \lambda \neq 0.}$

То есть это однородные координаты в традиционном смысле проективная геометрия.

Топология

В Бетти числа комплексной проективной плоскости

1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

Средняя размерность 2 объясняется классом гомологии комплексной проективной прямой, или Сфера Римана, лежа в самолете. Нетривиальные гомотопические группы комплексной проективной плоскости: ${\displaystyle \pi _{2}=\pi _{5}=\mathbb {Z} }$. Фундаментальная группа тривиальна, а все другие высшие гомотопические группы относятся к 5-сфере, то есть кручению.

Алгебраическая геометрия

В бирациональная геометрия, комплекс рациональная поверхность есть ли алгебраическая поверхность бирационально эквивалентен комплексной проективной плоскости. Известно, что любое неособое рациональное многообразие получается из плоскости последовательностью взрыв преобразования и их инверсии («продувка») кривых, которые должны быть очень определенного типа. Как частный случай, неособый комплекс квадрика в п³ получается из плоскости путем сдувания двух точек в кривые и последующего сдувания прямой через эти две точки; обратное этому преобразованию можно увидеть, взяв точку п на квадрике Q, взорвав его и проецируя на общую плоскость в п³ проводя линии через п.

Группа бирациональных автоморфизмов комплексной проективной плоскости - это Кремона группа.

Дифференциальная геометрия

Как риманово многообразие комплексная проективная плоскость представляет собой 4-мерное многообразие, секционная кривизна которого строго ущемлена на четверть; то есть он достигает обе границ и, таким образом, избегает быть сферой, поскольку теорема о сфере в противном случае потребовалось бы. Соперничающие нормализации заключаются в том, что кривизна должна быть уменьшена между 1/4 и 1; в качестве альтернативы, от 1 до 4. Что касается первой нормализации, вложенная поверхность, определяемая комплексной проективной линией, имеет гауссову кривизну 1. Что касается последней нормализации, вложенная реальная проективная плоскость имеет гауссову кривизну 1.

Явная демонстрация тензоров Римана и Риччи приведена в п= 2 п. Статьи о Метрика Фубини-Штуди.

Смотрите также

• поверхность дель Пеццо
• Торическая геометрия
• Поддельная проективная плоскость

Рекомендации

• К. Э. Спрингер (1964) Геометрия и анализ проективных пространств, страницы 140–3, В. Х. Фриман и компания.