Ложь группоид - Lie groupoid

В математика, а Ложь группоид это группоид где набор ${\displaystyle \operatorname {Ob} }$ из объекты и набор ${\displaystyle \operatorname {Mor} }$ из морфизмы оба коллекторы, исходная и целевая операции

${\displaystyle s,t:\operatorname {Mor} \to \operatorname {Ob} }$

находятся погружения, и все категория операции (источник и цель, композиция и карта назначения идентичности) гладкие.

Таким образом, группоид Ли можно рассматривать как "многообъектное обобщение" Группа Ли, так же, как группоид является многообъектным обобщением группа. Так же, как каждая группа Ли имеет Алгебра Ли, каждый группоид Ли имеет Алгеброид Ли.

Примеры

• Любая группа Ли дает группоид Ли с одним объектом, и наоборот. Итак, теория группоидов Ли включает в себя теорию групп Ли.
• Для любого многообразия ${\displaystyle M}$, существует группоид Ли, называемый парным группоидом, с ${\displaystyle M}$ как многообразие объектов и точно один морфизм от одного объекта к любому другому. Таким образом, в этом группоиде Ли многообразие морфизмов имеет вид ${\displaystyle M\times M}$.
• Учитывая группу Ли ${\displaystyle G}$ действующий на многообразии ${\displaystyle M}$существует группоид Ли, называемый перевод группоид с одним морфизмом для каждой тройки ${\displaystyle g\in G,x,y\in M}$ с ${\displaystyle gx=y}$.
• Любой слоение дает группоид Ли.
• Любой основной пакет ${\displaystyle P\to M}$ со структурной группой грамм дает группоид, а именно ${\displaystyle P\times P/G}$ над M, куда грамм действует на пары покомпонентно. Состав определяется через совместимых представителей, как в парном группоиде.

Морфизмы Мориты и гладкие стеки

Смотрите также: дифференцируемый стек

Помимо изоморфизма группоидов, существует более грубое обозначение эквивалентности, так называемая эквивалентность Морита. Довольно общий пример - морфизм Морита Чешский группоид что выглядит следующим образом. Позволять M - гладкое многообразие и ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ открытая крышка M. Определять ${\displaystyle G_{0}:=\bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }}$ несвязное объединение с очевидной субмерсией ${\displaystyle p:G_{0}\to M}$. Чтобы закодировать структуру коллектора M определить множество морфизмов ${\displaystyle G_{1}:=\bigsqcup _{\alpha ,\beta }U_{\alpha \beta }}$ куда ${\displaystyle U_{\alpha \beta }=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\subset M}$. Исходная и целевая карты определены как вложения ${\displaystyle s:U_{\alpha \beta }\to U_{\alpha }}$ и ${\displaystyle t:U_{\alpha \beta }\to U_{\beta }}$. И умножение становится очевидным, если мы прочитаем ${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$ как подмножества M (совместимые точки в ${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$ и ${\displaystyle U_{\beta \gamma }}$ на самом деле то же самое в M а также лежать в ${\displaystyle U_{\alpha \gamma }}$).

Этот чешский группоид на самом деле группоид отката из ${\displaystyle M\Rightarrow M}$, т.е. тривиальный группоид над M, под п. Вот что делает его морфизмом Морита.

Чтобы получить представление о отношение эквивалентности нам нужно сделать конструкцию симметричной и показать, что она также транзитивна. В этом смысле мы говорим, что 2 группоида ${\displaystyle G_{1}\Rightarrow G_{0}}$ и ${\displaystyle H_{1}\Rightarrow H_{0}}$ эквивалентны Морите тогда и только тогда, когда существует третий группоид ${\displaystyle K_{1}\Rightarrow K_{0}}$ вместе с двумя морфизмами Морита из грамм к K и ЧАС к K. Транзитивность - интересная конструкция в категории главные пучки группоидов и оставил читателю.

Возникает вопрос, что сохраняется при эквивалентности Морита. Есть две очевидные вещи, одна из них - грубое фактор-пространство / орбитальное пространство группоида. ${\displaystyle G_{0}/G_{1}=H_{0}/H_{1}}$ и во-вторых стабилизирующие группы ${\displaystyle G_{p}\cong H_{q}}$ для соответствующих точек ${\displaystyle p\in G_{0}}$ и ${\displaystyle q\in H_{0}}$.

Дальнейший вопрос о том, какова структура грубого фактор-пространства, приводит к понятию гладкого стека. Мы можем ожидать, что грубый фактор будет гладким многообразием, если, например, группы стабилизаторов тривиальны (как в примере группоида Чеха). Но если группы стабилизаторов изменятся, мы не сможем больше ожидать гладкого многообразия. Решение состоит в том, чтобы вернуть проблему и определить:

А гладкий стек является классом морита-эквивалентности группоидов Ли. Естественные геометрические объекты, живущие в стеке, - это геометрические объекты на группоидах Ли, инвариантные относительно эквивалентности Морита. В качестве примера рассмотрим группоид Ли когомология.

Примеры

• Понятие гладкого стека довольно общее, очевидно, все гладкие многообразия являются гладкими стеками.
• Но также орбифолды гладкие стеки, а именно (классы эквивалентности) эталь группоиды.
• Пространства орбит слоений - еще один класс примеров

внешняя ссылка

• Алан Вайнштейн, Группоиды: объединение внутренней и внешней симметрии, Уведомления AMS, 43 (1996), 744-752. Также доступно как arXiv: math / 9602220

• Кирилл Маккензи, Группоиды Ли и алгеброиды Ли в дифференциальной геометрии, Cambridge U. Press, 1987.

• Кирилл Маккензи, Общая теория группоидов Ли и алгеброидов Ли, Cambridge U. Press, 2005 г.