Преобразования Титце - Tietze transformations
В теория групп, Преобразования Титце используются для преобразования данного презентация группы в другое, часто более простое представление того же группа. Эти преобразования названы в честь Генрих Франц Фридрих Титце который представил их в статье в 1908 году.
Презентация с точки зрения генераторы и связи; формально говоря, представление - это пара из набора именованных генераторов и набор слов в свободная группа на генераторах, которые считаются отношениями. Преобразования Титце состоят из элементарных шагов, каждый из которых в отдельности довольно очевидно превращает представление в представление изоморфный группа. Эти элементарные шаги могут работать с генераторами или отношениями и бывают четырех видов.
Добавление отношения
Если отношение может быть получено из существующих отношений, то оно может быть добавлено к презентации без изменения группы. Пусть G = 〈x | Икс3= 1〉 - конечное представление циклической группы порядка 3. Умножая x3= 1 с обеих сторон на x3 мы получаем x6 = х3 = 1, поэтому x6 = 1 выводится из x3= 1. Следовательно, G = 〈x | Икс3= 1, х6= 1〉 - другое представление той же группы.
Удаление отношения
Если отношение в презентации может быть получено из других отношений, оно может быть удалено из презентации, не затрагивая группу. В грамм = 〈 Икс | Икс3 = 1, Икс6 = 1〉 соотношение Икс6 = 1 может быть получено из Икс3 = 1, поэтому его можно безопасно удалить. Однако обратите внимание, что если Икс3 = 1 удаляется из презентации группа грамм = 〈 Икс | Икс6 = 1〉 определяет циклическую группу порядка 6 и не определяет ту же группу. Необходимо проявлять осторожность, чтобы показать, что любые удаляемые отношения являются следствием других отношений.
Добавление генератора
Для данной презентации можно добавить новый генератор, который выражается словом в исходных генераторах. Начиная с грамм = 〈 Икс | Икс3 = 1〉 и полагая у = Икс2 новая презентация грамм = 〈 Икс,у | Икс3 = 1, у = Икс2 〉 Определяет ту же группу.
Снятие генератора
Если может быть сформировано отношение, в котором один из генераторов является словом в других генераторах, то этот генератор может быть удален. Для этого необходимо заменить все вхождения удаленного генератора на его эквивалентное слово. Презентация для элементарная абелева группа порядка 4, G = 〈x, y, z | х = уz, у2= 1, z2= 1, х = х−1 〉 Можно заменить на грамм = 〈 у,z | у2 = 1, z2 = 1, (yz) = (yz)−1 〉, Удалив Икс.
Примеры
Позволять грамм = 〈 Икс,у | Икс3 = 1, у2 = 1, (ху)2 = 1〉 - представление для симметричная группа степени три. Генератор Икс соответствует перестановке (1,2,3) и у к (2,3). Посредством преобразований Титце это представление может быть преобразовано в грамм = 〈 у, z | (зы)3 = 1, у2 = 1, z2 = 1〉, где z соответствует (1,2).
| грамм = 〈 Икс,у | Икс3 = 1, у2 = 1, (ху)2 = 1 〉 | (Начните) |
| грамм = 〈 Икс,у,z| Икс3 = 1, у2 = 1, (ху)2 = 1, z = ху 〉 | Правило 3 - Добавить генератор z |
| грамм = 〈 Икс,у,z | Икс3 = 1, у2 = 1, (ху)2 = 1, Икс = зы 〉 | правила 1 и 2 - Добавить Икс = zу−1 = зы и удалить z = ху |
| грамм = 〈 у,z | (зы)3 = 1, у2 = 1, z2 = 1 〉 | Правило 4 - Убрать генератор x |
Смотрите также
Рекомендации
- Роджер С. Линдон, Пол Э. Шупп, Комбинаторная теория групп, Спрингер, 2001. ISBN 3-540-41158-5.