Минимальная модель (теория множеств) - Minimal model (set theory)

В теория множеств, раздел математики, минимальная модель минимальный стандартная модель из ZFC Минимальная модель была представлена Шепердсоном (1951, 1952, 1953 ) и заново открыл Коэн (1963).

Существование минимальной модели нельзя доказать в ZFC, даже если предположить, что ZFC последовательный, но следует из существования стандартной модели следующим образом. Если есть набор W в Вселенная фон Неймана V это стандартная модель ZF и порядковый^{[необходимо разрешение неоднозначности ]} κ это набор ординалов, которые встречаются в W, то L_κ это класс конструктивные множества из W. Если существует набор, который является стандартной моделью ZF, то наименьшим из таких наборов является L_κ. Этот набор называется минимальная модель ZFC, а также удовлетворяет аксиома конструктивности V = L. Нисходящий Теорема Левенгейма – Сколема следует, что минимальная модель (если она существует как набор) является счетный набор. Точнее, каждый элемент s минимальной модели можно назвать; другими словами, это предложение первого порядка φ(Икс) такие, что s - уникальный элемент минимальной модели, для которого φ(s) правда.

Коэн (1963) дал другую конструкцию минимальной модели в виде сильно конструктивных множеств, используя модифицированную форму конструируемой вселенной Гёделя.

Конечно, любая последовательная теория должна иметь модель, поэтому даже в минимальной модели теории множеств есть множества, которые являются моделями ZFC (при условии, что ZFC непротиворечива). Однако эти комплекты моделей нестандартны. В частности, они не используют нормальное отношение членства и не являются хорошо обоснованными.

Если стандартной модели нет, то минимальная модель не может существовать как набор. Однако в этом случае класс всех конструктивных множеств играет ту же роль, что и минимальная модель, и имеет аналогичные свойства (хотя теперь это собственный класс, а не счетное множество).

Минимальная модель теории множеств не имеет других внутренних моделей, кроме самой себя. В частности, невозможно использовать метод внутренних моделей, чтобы доказать, что любое данное утверждение истинно в минимальной модели (такой как гипотеза континуума ) не доказуемо в ZFC.

Минимальная модель (теория множеств) - Minimal model (set theory)

Рекомендации