Теория множеств Крипке – Платека с элементарными элементами. - Kripke–Platek set theory with urelements

В Теория множеств Крипке – Платека с элементарными элементами. (КПУ) является система аксиом для теория множеств с участием урэлементы, на основе традиционной (безурэлементной) Теория множеств Крипке – Платека.. Он значительно слабее (относительно) знакомой системы ZFU. Целью разрешения urelements является разрешение больших или сложных объектов (таких как набор всех реалов ) для включения в транзитивные модели теории без нарушения обычных упорядочивающих и теоретико-рекурсивных свойств конструируемая вселенная; КП настолько слаб, что это сложно сделать традиционные средства.

Предварительные мероприятия

Обычный способ формулирования аксиом предполагает наличие двухсортированного языка первого порядка. ${\displaystyle L^{*}}$ с одним символом двоичного отношения ${\displaystyle \in }$.Такие письма ${\displaystyle p,q,r,...}$ обозначают мочевые элементы, которых может не быть, тогда как буквы вида ${\displaystyle a,b,c,...}$ обозначить наборы. Письма ${\displaystyle x,y,z,...}$ может обозначать как наборы, так и элементы.

Буквы для наборов могут появляться на обеих сторонах ${\displaystyle \in }$, в то время как для урэлементов могут появляться только слева, то есть ниже приведены примеры допустимых выражений: ${\displaystyle p\in a}$, ${\displaystyle b\in a}$.

Утверждение аксиом также требует ссылки на определенный набор формул, называемых ${\displaystyle \Delta _{0}}$-формулы. Коллекция ${\displaystyle \Delta _{0}}$ состоит из тех формул, которые можно построить с помощью констант, ${\displaystyle \in }$, ${\displaystyle \neg }$, ${\displaystyle \wedge }$, ${\displaystyle \vee }$, и ограниченная количественная оценка. Это количественная оценка формы ${\displaystyle \forall x\in a}$ или ${\displaystyle \exists x\in a}$ где ${\displaystyle a}$ дан набор.

Аксиомы

Аксиомы КПУ - это универсальные крышки следующих формул:

• Расширяемость: ${\displaystyle \forall x(x\in a\leftrightarrow x\in b)\rightarrow a=b}$
• Фонд: Это схема аксиомы где для каждой формулы ${\displaystyle \phi (x)}$ у нас есть ${\displaystyle \exists a.\phi (a)\rightarrow \exists a(\phi (a)\wedge \forall x\in a\,(\neg \phi (x)))}$.
• Сопряжение: ${\displaystyle \exists a\,(x\in a\land y\in a)}$
• Союз: ${\displaystyle \exists a\forall c\in b.\forall y\in c(y\in a)}$
• Δ₀-Разделение: Это снова схема аксиомы, где для каждого ${\displaystyle \Delta _{0}}$-формула ${\displaystyle \phi (x)}$ у нас есть следующие ${\displaystyle \exists a\forall x\,(x\in a\leftrightarrow x\in b\wedge \phi (x))}$.
• ${\displaystyle \Delta _{0}}$-Коллекция: Это тоже схема аксиомы, для каждого ${\displaystyle \Delta _{0}}$-формула ${\displaystyle \phi (x,y)}$ у нас есть ${\displaystyle \forall x\in a.\exists y.\phi (x,y)\rightarrow \exists b\forall x\in a.\exists y\in b.\phi (x,y)}$.
• Установить существование: ${\displaystyle \exists a\,(a=a)}$

Дополнительные предположения

Технически это аксиомы, описывающие разбиение объектов на множества и элементы.

• ${\displaystyle \forall p\forall a(p\neq a)}$
• ${\displaystyle \forall p\forall x(x\notin p)}$

Приложения

КПУ можно применить к модельной теории бесконечные языки. Модели KPU рассматривается как множества внутри максимальной вселенной, которые переходный как таковые называются допустимые множества.

Смотрите также

• Аксиоматическая теория множеств
• Допустимый набор
• Допустимый порядковый номер
• Теория множеств Крипке – Платека.

использованная литература

• Барвайз, Джон (1975), Допустимые множества и структуры, Springer-Verlag, ISBN  3-540-07451-1.
• Гостанян, Ричард (1980), "Конструируемые модели подсистем ZF", Журнал символической логики, 45: 237–250, Дои:10.2307/2273185, JSTOR  2273185.

внешние ссылки

• Логика абстрактного существования