Допустимый порядковый номер - Admissible ordinal

В теория множеств, порядковый номер α - это допустимый порядковый номер если L_α является допустимый набор (это переходная модель из Теория множеств Крипке – Платека. ); другими словами, α допустимо, когда α - предельный ординал и L_α⊧Σ₀-коллекция.^[1][2]

Первые два допустимых ординала - это ω и ${displaystyle omega _{1}^{mathrm {CK} }}$ (в мере нерекурсивный порядковый, также называемый Чёрч – Клини ординал ).^[2] Любой обычный несчетный кардинал - допустимый ординал.

По теореме Мешки, то счетный допустимые ординалы - это в точности те, которые построены аналогично ординалу Черча-Клини, но для машин Тьюринга с оракулы.^[1] Иногда пишут ${displaystyle omega _{alpha }^{mathrm {CK} }}$ для ${displaystyle alpha }$- порядковый номер, который является допустимым или пределом допустимых значений; порядковый номер, который является и тем и другим, называется рекурсивно недоступный.^[3] Таким образом, существует теория больших ординалов, которая очень похожа на теорию (малых) большие кардиналы (можно определить рекурсивно Мало порядковые, например).^[4] Но все эти ординалы по-прежнему счетны. Следовательно, допустимые ординалы кажутся рекурсивным аналогом регулярных Количественные числительные.

Заметим, что α допустимый ординал тогда и только тогда, когда α является предельный порядковый номер и не существует γ <α, для которого существует Σ₁(L_α) отображение γ на α. Если M - стандартная модель КП, то множество ординалов в M - допустимый ординал.

Смотрите также

• Большие счетные ординалы
• Недоступный кардинал
• Конструируемая вселенная

Рекомендации

1. Фридман, Си Д. (1985), "Теория тонкой структуры и ее приложения", Теория рекурсии (Итака, Нью-Йорк, 1982), Proc. Симпози. Чистая математика., 42, Амер. Математика. Soc., Providence, RI, стр. 259–269, Дои:10.1090 / pspum / 042/791062, Г-Н  0791062. См. В частности п. 265.
2. Фиттинг, Мелвин (1981), Основы обобщенной теории рекурсии, Исследования по логике и основам математики, 105, North-Holland Publishing Co., Амстердам-Нью-Йорк, стр. 238, г. ISBN  0-444-86171-8, Г-Н  0644315.
3. Фридман, Си Д. (2010), "Конструктивность и классовое принуждение", Справочник по теории множеств. Тт. 1, 2, 3, Springer, Dordrecht, стр. 557–604, Дои:10.1007/978-1-4020-5764-9_9, Г-Н  2768687. См. В частности п. 560.
4. Кале, Рейнхард; Сетцер, Антон (2010), "Расширенное предикативное определение вселенной Mahlo", Способы теории доказательств, Ontos Math. Бревно., 2, Ontos Verlag, Heusenstamm, стр. 315–340, Г-Н  2883363.