Эпсилон-индукция - Epsilon-induction

В математика, -индукция (эпсилон-индукция или установка индукции) является вариантом трансфинитная индукция.

Рассматриваемая как альтернативная схема аксиом теории множеств, она называется Аксиома (схема) (множества) индукции.

Его можно использовать в теория множеств доказать, что все наборы удовлетворить данное свойство п(Икс). Это частный случай обоснованная индукция.

утверждение

В нем говорится, для любой собственности п, что если для каждого набора Икс, правда о Р (х) следует из истины п для всех элементы Икс, то это свойство п выполняется для всех множеств. В символах:

Обратите внимание, что для «нижнего случая», когда Икс обозначает пустой набор, является пусто правда.

Сравнение с индукцией натуральных чисел

Сказанное выше можно сравнить с -индукция над натуральными числами для числовых свойств Q. Это можно выразить как

Введя некоторые соглашения для отражения индукции набора, это можно записать как

где для "нижнего корпуса" мы принимаем ""быть истинным по определению. Обратите внимание, что индукцию по множеству также можно рассматривать таким образом, чтобы явно рассматривать нижний случай.

С классическими тавтологиями, такими как , вышесказанное -принцип индукции можно перевести в следующее утверждение:

Это означает, что для любой собственности Q, либо есть любое (первое) число для которого Q не держится, несмотря на Q удержание для предыдущего случая, или - если нет такого случая отказа - Q верно для всех чисел.

Соответственно, в классической ZF, индукция по множеству может быть преобразована в следующий оператор, поясняющий, какая форма контрпримера предотвращает свойство множества п для всех наборов:

Это означает, что для любой собственности п, либо есть набор Икс для которого п не держится пока п верно для всех элементов Икс, или же п выполняется для всех множеств.

Для любого свойства, если можно доказать, что подразумевает , то случай отказа исключается и формула утверждает, что дизъюнкция должен держать.

Независимость

В контексте конструктивная теория множеств CZF, принимая Аксиома регулярности означало бы закон исключенного среднего а также множественная индукция. Но тогда полученная теория была бы стандартной. ZF. Однако, наоборот, индукция по множеству не влечет ни того, ни другого. Другими словами, с конструктивным логическим каркасом индукция по множеству, как указано выше, строго слабее регулярности.

Смотрите также