Теоремы об изоморфизме - Isomorphism theorems

В математика в частности абстрактная алгебра, то теоремы об изоморфизме (также известен как Теоремы Нётер об изоморфизме) находятся теоремы которые описывают отношения между частные, гомоморфизмы, и подобъекты. Версии теорем существуют для группы, кольца, векторные пространства, модули, Алгебры Ли, и различные другие алгебраические структуры. В универсальная алгебра, теоремы об изоморфизме могут быть обобщены на контекст алгебр и совпадения.

История

Теоремы об изоморфизме сформулированы в некоторой общности для гомоморфизмов модулей формулой Эмми Нётер в ее газете Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, который был опубликован в 1927 г. Mathematische Annalen. Менее общие версии этих теорем можно найти в работе Ричард Дедекинд и предыдущие статьи Нётер.

Три года спустя, Б.Л. ван дер Варден опубликовал свои влиятельные Алгебра, первый абстрактная алгебра учебник, занявший группы -кольца -поля подход к теме. Ван дер Варден зачислял лекции Нётер на теория групп и Эмиль Артин по алгебре, а также семинар Артина, Вильгельм Блашке, Отто Шрайер, и сам ван дер Варден на идеалы в качестве основных ссылок. Три теоремы об изоморфизме, называемые теорема о гомоморфизме, и два закона изоморфизма при применении к группам отображаются явно.

Группы

Сначала представим теоремы об изоморфизме группы.

Обратите внимание на номера и имена

Ниже мы представляем четыре теоремы, обозначенные A, B, C и D. Они часто нумеруются как «Первая теорема об изоморфизме», «Вторая ...» и так далее; однако единого мнения о нумерации нет. Здесь мы приводим некоторые примеры теорем об изоморфизме групп (обратите внимание, что эти теоремы имеют аналоги для колец и модулей.) В литературе:

Сравнение названий теорем об изоморфизме групп

	Автор	Теорема А	Теорема B	Теорема C
Никакой "третьей" теоремы	Якобсон[1]	Основная теорема гомоморфизмов	(вторая теорема об изоморфизме)	"часто называют первой теоремой об изоморфизме"
	ван дер Варден,[2] Дурбин[4]	Основная теорема гомоморфизмов	первая теорема об изоморфизме	вторая теорема об изоморфизме
	Кнапп[5]	(без имени)	Вторая теорема об изоморфизме	Первая теорема об изоморфизме
	Гриль[6]	Теорема гомоморфизма	Вторая теорема об изоморфизме	Первая теорема об изоморфизме
Три пронумерованные теоремы	(Другое соглашение, упомянутое в Grillet)	Первая теорема об изоморфизме	Третья теорема об изоморфизме	Вторая теорема об изоморфизме
	Ротман[7]	Первая теорема об изоморфизме	Вторая теорема об изоморфизме	Третья теорема об изоморфизме
Без нумерации	Milne[8]	Теорема гомоморфизма	Теорема об изоморфизме	Теорема о соответствии
	Скотт[9]	Теорема гомоморфизма	Теорема об изоморфизме	Теорема первокурсника

Реже включают теорему D, обычно известную как "решеточная теорема "или" теорема соответствия "одной из теорем об изоморфизме, но когда они это сделают, это будет последняя.

Формулировка теорем

Теорема А

Смотрите также: Основная теорема о гомоморфизмах

Схема основной теоремы о гомоморфизмах

Позволять г и ЧАС быть группами, и пусть φ: г → ЧАС быть гомоморфизм. Потом:

1. В ядро из φ это нормальная подгруппа из г,
2. В образ из φ это подгруппа из ЧАС, и
3. Образ φ является изоморфный к факторгруппа г / кер (φ).

В частности, если φ является сюръективный тогда ЧАС изоморфен г / кер (φ).

Теорема B

Схема теоремы B

Позволять ${\displaystyle G}$ быть группой. Позволять ${\displaystyle S}$ быть подгруппой ${\displaystyle G}$, и разреши ${\displaystyle N}$ нормальная подгруппа ${\displaystyle G}$. Тогда имеет место следующее:

1. В товар ${\displaystyle SN}$ является подгруппой ${\displaystyle G}$,
2. В пересечение ${\displaystyle S\cap N}$ нормальная подгруппа ${\displaystyle S}$, и
3. Фактор-группы ${\displaystyle (SN)/N}$ и ${\displaystyle S/(S\cap N)}$ изоморфны.

Технически в этом нет необходимости ${\displaystyle N}$ быть нормальной подгруппой, пока ${\displaystyle S}$ является подгруппой нормализатор из ${\displaystyle N}$ в ${\displaystyle G}$. В этом случае пересечение ${\displaystyle S\cap N}$ не является нормальной подгруппой ${\displaystyle G}$, но это все еще нормальная подгруппа ${\displaystyle S}$.

Эту теорему иногда называют «теоремой об изоморфизме»,^[8] "теорема алмаза"^[10] или «теорема о параллелограмме».^[11]

Применение второй теоремы об изоморфизме определяет проективные линейные группы: например, группа на сложная проективная линия начинается с настройки ${\displaystyle G=GL_{2}(\mathbb {C} )}$, группа обратимых комплексных матриц 2 × 2, ${\displaystyle S=SL_{2}(\mathbb {C} )}$, подгруппа матриц определителя 1, и ${\displaystyle N}$ нормальная подгруппа скалярных матриц ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{{\bigl (}{\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}{\bigr )}:a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}}$, у нас есть ${\displaystyle S\cap N=\{\pm I\}}$, где ${\displaystyle I}$ - единичная матрица, а ${\displaystyle SN=GL_{2}(\mathbb {C} )}$. Тогда вторая теорема об изоморфизме утверждает, что:

${\displaystyle PGL_{2}(\mathbb {C} ):=GL_{2}(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I)\cong SL_{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:PSL_{2}(\mathbb {C} )}$

Теорема C

Позволять ${\displaystyle G}$ быть группой, и ${\displaystyle N}$ нормальная подгруппа ${\displaystyle G}$.Потом

1. Если ${\displaystyle K}$ является подгруппой ${\displaystyle G}$ такой, что ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$, тогда ${\displaystyle G/N}$ имеет подгруппу, изоморфную ${\displaystyle K/N}$.
2. Каждая подгруппа ${\displaystyle G/N}$ имеет форму ${\displaystyle K/N}$ для какой-то подгруппы ${\displaystyle K}$ из ${\displaystyle G}$ такой, что ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$.
3. Если ${\displaystyle K}$ нормальная подгруппа ${\displaystyle G}$ такой, что ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$, тогда ${\displaystyle G/N}$ имеет нормальную подгруппу, изоморфную${\displaystyle K/N}$.
4. Каждая нормальная подгруппа группы ${\displaystyle G/N}$ имеет форму ${\displaystyle K/N}$, для некоторой нормальной подгруппы ${\displaystyle K}$ из ${\displaystyle G}$ такой, что ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$.
5. Если ${\displaystyle K}$ нормальная подгруппа ${\displaystyle G}$ такой, что ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$, то фактор-группа ${\displaystyle (G/N)/(K/N)}$ изоморфен ${\displaystyle G/K}$.

Теорема D

Основная статья: решеточная теорема

В теорема соответствия (также известная как теорема о решетке) иногда называют третьей или четвертой теоремой об изоморфизме.

В Лемма Цассенхауза (также известную как лемма о бабочке) иногда называют четвертой теоремой об изоморфизме.^{[нужна цитата ]}

Обсуждение

Первую теорему об изоморфизме можно выразить в виде теоретическая категория язык, говоря, что категория групп является (нормальным, эпи, моно) -факторизуемым; другими словами, нормальные эпиморфизмы и мономорфизмы сформировать система факторизации для категории. Это зафиксировано в коммутативная диаграмма на полях, где показаны объекты и морфизмы, о существовании которых можно судить по морфизму ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$. Схема показывает, что каждый морфизм в категории групп имеет ядро в теоретическом смысле категории; произвольный морфизм ж факторы в ${\displaystyle \iota \circ \pi }$, где ι является мономорфизмом и π является эпиморфизмом (в конормальной категории все эпиморфизмы нормальны). Это представлено на схеме объектом ${\displaystyle \ker f}$ и мономорфизм ${\displaystyle \kappa :\ker f\rightarrow G}$ (ядра - всегда мономорфизмы), завершающие краткую точная последовательность бегущий из нижнего левого угла в верхний правый угол диаграммы. Использование соглашения о точной последовательности избавляет нас от необходимости рисовать нулевые морфизмы от ${\displaystyle \ker f}$ к ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle G/\ker f}$.

Если последовательность разбита справа (т. Е. Существует морфизм σ что отображает ${\displaystyle G/\ker f}$ к π-прообраз самого себя), то г это полупрямой продукт нормальной подгруппы ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa }$ и подгруппа ${\displaystyle \operatorname {im} \sigma }$. Если он разделен слева (т. Е. Существует несколько ${\displaystyle \rho :G\rightarrow \ker f}$ такой, что ${\displaystyle \rho \circ \kappa =\operatorname {id} _{\ker f}}$), то он также должен быть разделен вправо, и ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \times \operatorname {im} \sigma }$ это прямой продукт разложение г. В общем, наличие правого раскола не подразумевает существования левого раскола; но в абелева категория (например, абелевы группы), левые и правые расщепления эквивалентны лемма о расщеплении, и правильного разделения достаточно, чтобы получить прямая сумма разложение ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \oplus \operatorname {im} \sigma }$. В абелевой категории все мономорфизмы также нормальны, и диаграмма может быть расширена второй короткой точной последовательностью ${\displaystyle 0\rightarrow G/\ker f\rightarrow H\rightarrow \operatorname {coker} f\rightarrow 0}$.

Во второй теореме об изоморфизме произведение SN это присоединиться из S и N в решетка подгрупп из г, а пересечение S ∩ N это встреча.

Третья теорема об изоморфизме обобщается девять лемм к абелевы категории и более общие карты между объектами.

Кольца

Утверждения теорем для кольца аналогичны, с заменой понятия нормальной подгруппы на понятие идеальный.

Теорема А

Позволять р и S быть кольцами, и пусть φ: р → S быть кольцевой гомоморфизм. Потом:

1. В ядро из φ это идеал р,
2. В образ из φ это подкольцо из S, и
3. Образ φ изоморфен кольцо частного р / кер (φ).

В частности, если φ является сюръективный тогда S изоморфен р / кер (φ).

Теорема B

Позволять р быть кольцом. Позволять S быть подкольцом р, и разреши я быть идеалом р. Потом:

1. Сумма S + я = {s + я | s ∈ S, я ∈ я} - это подкольцо р,
2. Пересечение S ∩ я это идеал S, и
3. Факторкольца (S + я) / я и S / (S ∩ я) изоморфны.

Теорема C

Позволять р быть кольцом, и я идеал р.Потом

1. Если ${\displaystyle A}$ это подкольцо ${\displaystyle R}$ такой, что ${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$, тогда ${\displaystyle A/I}$ это подкольцо ${\displaystyle R/I}$.
2. Каждое подкольцо ${\displaystyle R/I}$ имеет форму ${\displaystyle A/I}$, для некоторого подкольца ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle R}$ такой, что ${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$.
3. Если ${\displaystyle J}$ это идеал ${\displaystyle R}$ такой, что ${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$, тогда ${\displaystyle J/I}$ это идеал ${\displaystyle R/I}$.
4. Каждый идеал ${\displaystyle R/I}$ имеет форму ${\displaystyle J/I}$, для идеала ${\displaystyle J}$ из ${\displaystyle R}$ такой, что ${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$.
5. Если ${\displaystyle J}$ это идеал ${\displaystyle R}$ такой, что ${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$, то факторкольцо ${\displaystyle (R/I)/(J/I)}$ изоморфен ${\displaystyle R/J}$.

Теорема D

Позволять ${\displaystyle I}$ быть идеалом ${\displaystyle R}$. Переписка ${\displaystyle A\leftrightarrow A/I}$ - сохраняющая включение биекция между множеством подколец ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle R}$ которые содержат ${\displaystyle I}$ и набор подколец ${\displaystyle R/I}$. Более того, ${\displaystyle A}$ (вложенное кольцо, содержащее ${\displaystyle I}$) является идеалом ${\displaystyle R}$ если и только если ${\displaystyle A/I}$ это идеал ${\displaystyle R/I}$.^[12]

Модули

Утверждения теорем об изоморфизме модули особенно просты, так как можно сформировать модуль частного из любого подмодуль. Теоремы об изоморфизме для векторные пространства (модули над полем) и абелевы группы (модулей более ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) являются их частными случаями. Для конечномерных векторных пространств все эти теоремы следуют из теорема ранга-недействительности.

В дальнейшем "модуль" будет означать "р-модуль »для некоторого фиксированного кольца р.

Теорема А

Позволять M и N быть модулями, и пусть φ: M → N быть модульный гомоморфизм. Потом:

1. В ядро из φ является подмодулем M,
2. В образ из φ является подмодулем N, и
3. Образ φ изоморфен модуль частного M / кер (φ).

В частности, если φ сюръективно, то N изоморфен M / кер (φ).

Теорема B

Позволять M - модуль, и пусть S и Т быть подмодулями M. Потом:

1. Сумма S + Т = {s + т | s ∈ S, т ∈ Т} является подмодулем M,
2. Пересечение S ∩ Т является подмодулем M, и
3. Фактормодули (S + Т) / Т и S / (S ∩ Т) изоморфны.

Теорема C

Позволять M быть модулем, Т подмодуль M.

1. Если ${\displaystyle S}$ является подмодулем ${\displaystyle M}$ такой, что ${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$, тогда ${\displaystyle S/T}$ является подмодулем ${\displaystyle M/T}$.
2. Каждый подмодуль ${\displaystyle M/T}$ имеет форму ${\displaystyle S/T}$, для некоторого подмодуля ${\displaystyle S}$ из ${\displaystyle M}$ такой, что ${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$.
3. Если ${\displaystyle S}$ является подмодулем ${\displaystyle M}$ такой, что ${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$, то фактормодуль ${\displaystyle (M/T)/(S/T)}$ изоморфен ${\displaystyle M/S}$.

Теорема D

Позволять ${\displaystyle M}$ быть модулем, ${\displaystyle N}$ подмодуль ${\displaystyle M}$. Между подмодулями ${\displaystyle M}$ которые содержат ${\displaystyle N}$ и подмодули ${\displaystyle M/N}$. Соответствие дается ${\displaystyle A\leftrightarrow A/N}$ для всех ${\displaystyle A\supseteq N}$. Это соответствие коммутирует с процессами суммирования и пересечений (т. Е. Является решеточным изоморфизмом между решеткой подмодулей модуля ${\displaystyle M/N}$ и решетка подмодулей ${\displaystyle M}$ которые содержат ${\displaystyle N}$).^[13]

Общее

Чтобы обобщить это на универсальная алгебра, нормальные подгруппы необходимо заменить на отношения конгруэнтности.

А соответствие на алгебра ${\displaystyle A}$ является отношением эквивалентности ${\displaystyle \Phi \subseteq A\times A}$ который образует подалгебру ${\displaystyle A\times A}$ рассматривается как алгебра с покомпонентными операциями. Можно составить набор классов эквивалентности ${\displaystyle A/\Phi }$ в алгебру того же типа путем определения операций через представителей; это будет четко определено, поскольку ${\displaystyle \Phi }$ является подалгеброй ${\displaystyle A\times A}$. Полученная структура - это фактор-алгебра.

Теорема А

Позволять ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ быть алгеброй гомоморфизм. Тогда образ ${\displaystyle f}$ является подалгеброй ${\displaystyle B}$, соотношение, заданное ${\displaystyle \Phi :f(x)=f(y)}$ (т.е. ядро из ${\displaystyle f}$) является конгруэнцией на ${\displaystyle A}$, а алгебры ${\displaystyle \ A/\Phi \ }$ и ${\displaystyle \operatorname {im} f}$ изоморфны. (Обратите внимание, что в случае группы ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ если только ${\displaystyle f(xy^{-1})=1}$, поэтому в данном случае восстанавливается понятие ядра, используемое в теории групп.)

Теорема B

Учитывая алгебру ${\displaystyle A}$, подалгебра ${\displaystyle B}$ из ${\displaystyle A}$, и сравнение ${\displaystyle \Phi }$ на ${\displaystyle A}$, позволять ${\displaystyle \Phi _{B}=\Phi \cap (B\times B)}$ быть следом ${\displaystyle \Phi }$ в ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle [B]^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}}$ набор классов эквивалентности, которые пересекаются ${\displaystyle B}$. потом

1. ${\displaystyle \Phi _{B}}$ это сравнение на ${\displaystyle B}$,
2. ${\displaystyle \ [B]^{\Phi }}$ является подалгеброй ${\displaystyle A/\Phi }$, и
3. алгебра ${\displaystyle [B]^{\Phi }}$ изоморфна алгебре ${\displaystyle B/\Phi _{B}}$.

Теорема C

Позволять ${\displaystyle A}$ быть алгеброй и ${\displaystyle \Phi ,\Psi }$ два отношения конгруэнтности на ${\displaystyle A}$ такой, что ${\displaystyle \Psi \subseteq \Phi }$. потом ${\displaystyle \Phi /\Psi =\{([a']_{\Psi },[a'']_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=[\ ]_{\Psi }\circ \Phi \circ [\ ]_{\Psi }^{-1}}$ это сравнение на ${\displaystyle A/\Psi }$, и ${\displaystyle A/\Phi }$ изоморфен ${\displaystyle (A/\Psi )/(\Phi /\Psi )}$.

Теорема D

Позволять ${\displaystyle A}$ - алгебра и обозначим ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$ набор всех сравнений на ${\displaystyle A}$. Набор${\displaystyle \operatorname {Con} A}$ полная решетка, упорядоченная по включению.^[14]Если ${\displaystyle \Phi \in \operatorname {Con} A}$ является конгруэнцией, и мы обозначим через ${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]\subseteq \operatorname {Con} A}$ набор всех сравнений, содержащих ${\displaystyle \Phi }$ (т.е. ${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]}$ является основным фильтр в ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$, к тому же это подрешетка), то отображение ${\displaystyle \alpha :\left[\Phi ,A\times A\right]\to \operatorname {Con} (A/\Phi ),\Psi \mapsto \Psi /\Phi }$ является решеточным изоморфизмом.^[15][16]

Заметка

1. Джейкобсон (2009), сек 1.10
2. ван дер Варден, Алгебра (1994).
3. Дурбин (2009), сек. 54
4. [имена] по сути такие же, как [van der Waerden 1994]^[3]
5. Кнапп (2016), сек IV 2
6. Grillet (2007), сек. Я 5
7. Ротман (2003), сек. 2,6
8. Милн (2013), гл. 1 сек. Теоремы о гомоморфизмах
9. Скотт (1964), разделы 2.2 и 2.3
10. И. Мартин Айзекс (1994). Алгебра: выпускной курс. American Mathematical Soc. п.33. ISBN  978-0-8218-4799-2.
11. Пол Мориц Кон (2000). Классическая алгебра. Вайли. п.245. ISBN  978-0-471-87731-8.
12. Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра. Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п.246. ISBN  978-0-471-43334-7.
13. Даммит и Фут (2004), стр. 349
14. Стэнли и Санкаппанавар (2012), стр. 37
15. Стэнли и Санкаппанавар (2012), стр. 49
16. Уильям Сан, (https://math.stackexchange.com/users/413924/william-sun ). «Есть ли общая форма теоремы о соответствии?». Математика StackExchange. Получено 20 июля 2019.

использованная литература

• Эмми Нётер, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96 (1927) стр. 26–61
• Колин Макларти, "Теоретико-множественная топология Эмми Нётер: от Дедекинда к появлению функторов". Архитектура современной математики: очерки истории и философии (Отредактировано Джереми Грей и Хосе Феррейрос), Oxford University Press (2006), стр. 211–35.
• Джейкобсон, Натан (2009), Базовая алгебра, 1 (2-е изд.), Дувр, ISBN  9780486471891
• Пол М. Кон, Универсальная алгебра, Глава II.3 с. 57
• Милн, Джеймс С. (2013), Теория групп, 3.13
• ван дер Варден, Б. И. (1994), Алгебра, 1 (9-е изд.), Springer-Verlag
• Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра. Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN  978-0-471-43334-7.
• Беррис, Стэнли; Санкаппанавар, Х. П. (2012). Курс универсальной алгебры (PDF). ISBN  978-0-9880552-0-9.
• В. Р. Скотт (1964), Теория групп, Прентис Холл
• Джон Р. Дурбин (2009). Современная алгебра: введение (6 изд.). Вайли. ISBN  978-0-470-38443-5.
• Энтони В. Кнапп (2016), Основы алгебры (Цифровое второе изд.)
• Пьер Антуан Грийе (2007), Абстрактная алгебра (2-е изд.), Springer
• Джозеф Дж. Ротман (2003), Продвинутая современная алгебра (2-е изд.), Прентис Холл, ISBN  0130878685