Квазидиэдральная группа - Quasidihedral group

Граф Кэли квазидиэдральной группы порядка 16

Граф Кэли модулярной максимальной циклической группы порядка 16

Граф Кэли диэдральной группы порядка 16

В математика, то квазидиэдральные группы, также называемый полудиэдральные группы, уверены неабелевы группы из порядок степень 2. Для каждого положительного целое число п больше или равно 4, ровно четыре классы изоморфизма неабелевых группы порядка 2^п которые имеют циклический подгруппа из показатель 2. Два хорошо известны: обобщенная группа кватернионов и группа диэдра. Одна из двух оставшихся групп часто считается особенно важной, поскольку это пример 2-группы максимальный класс нильпотентности. В Бертрам Хупперт текст Endliche Gruppen, эта группа называется «Quasidiedergruppe». В Даниэль Горенштейн текст, Конечные группыэта группа называется «полудиэдральной группой». Даммит и Фут называют ее «квазидиэдральной группой»; мы используем это имя в этой статье. Все дают то же самое презентация для этой группы:

${\displaystyle \langle r,s\mid r^{2^{n-1}}=s^{2}=1,\ srs=r^{2^{n-2}-1}\rangle \,\!}$.

Другой неабелевой 2-группе с циклической подгруппой индекса 2 не дается специального имени ни в одном из текстов, но она называется просто грамм или M_м(2). Когда эта группа имеет порядок 16, Даммит и Фут называют эту группу «модульной группой порядка 16», поскольку ее решетка подгрупп модулярна, поэтому в этой статье мы будем называть эту группу модулярной максимальной циклической группой. Его презентация:

${\displaystyle \langle r,s\mid r^{2^{n-1}}=s^{2}=1,\ srs=r^{2^{n-2}+1}\rangle \,\!}$.

Обе эти две группы и группа диэдра являются полупрямые продукты циклической группы <р > порядка 2^п−1 с циклической группой <s> порядка 2. Такое неабелево полупрямое произведение однозначно определяется элементом порядка 2 в группа единиц из звенеть ${\displaystyle \mathbb {Z} /2^{n-1}\mathbb {Z} }$ а таких элементов ровно три, ${\displaystyle 2^{n-1}-1}$, ${\displaystyle 2^{n-2}-1}$, и ${\displaystyle 2^{n-2}+1}$, соответствующие диэдральной группе, квазидиэдру и модулярной максимальной циклической группе.

Обобщенная группа кватернионов, группа диэдра и группа квазидиэдра порядка 2^п все имеют класс нильпотентности п - 1, и являются единственными классами изоморфизма групп порядка 2^п с классом нильпотентности п - 1. Группы заказа п^п и класс нильпотентности п - 1 были началом классификации всех п-группы через кокласс. Модулярная максимально циклическая группа порядка 2^п всегда имеет класс нильпотентности 2. Это делает модулярную максимально-циклическую группу менее интересной, поскольку большинство групп порядка п^п для больших п имеют 2-й класс нильпотентности и их трудно понять напрямую.

Обобщенный кватернион, диэдр и группа квазидиэдра - единственные 2-группы, производная подгруппа имеет индекс 4. Теорема Альперина – Брауэра – Горенштейна. классифицирует простые группы, и в некоторой степени конечные группы, с квазидиэдральными силовскими 2-подгруппами.

Примеры

Силовские 2-подгруппы следующих групп являются квазидиэдральными:

• PSL₃(F_q) за q ≡ 3 мод 4,
• БП₃(F_q) за q ≡ 1 мод 4,
• то Группа Матье M₁₁,
• GL₂(F_q) за q ≡ 3 мод 4.

Рекомендации

• Dummit, D. S .; Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Вайли. С. 71–72. ISBN  9780471433347.
• Хупперт, Б. (1967). Endliche Gruppen. Springer. С. 90–93. Г-Н  0224703.
• Горенштейн, Д. (1980). Конечные группы. Челси. С. 188–195. ISBN  0-8284-0301-5. Г-Н  0569209.