(2,3,7) треугольная группа - (2,3,7) triangle group - Wikipedia

В теории Римановы поверхности и гиперболическая геометрия, то группа треугольников (2,3,7) особенно важен. Это значение проистекает из его связи с Поверхности Гурвица, а именно римановы поверхности рода грамм с максимально возможным порядком 84 (грамм - 1) своей группы автоморфизмов.

Примечание по терминологии - чаще всего подразумевается «группа треугольников (2,3,7)», а не полный треугольная группа Δ (2,3,7) (группа Кокстера с Треугольник Шварца (2, 3, 7) или реализация в виде гиперболической группа отражения ), а скорее к обычный группа треугольников ( группа фон Дейка ) D(2, 3, 7) сохраняющих ориентацию отображений (группа вращений), которая имеет индекс 2.

Нормальные подгруппы без кручения треугольной группы (2,3,7): Фуксовы группы связана с Поверхности Гурвица, такой как Кляйн квартика, Поверхность Macbeath и Первая тройка Гурвица.

Конструкции

Гиперболическая конструкция

Треугольная группа (2,3,7) - это группа сохраняющих ориентацию изометрий тайлинга по (2,3,7) Треугольник Шварца, показанный здесь в Модель диска Пуанкаре проекция.

Чтобы построить группу треугольников, начните с гиперболического треугольника с углами π / 2, π / 3, π / 7. Этот треугольник, наименьший гиперболический Треугольник Шварца, укладывает плоскость отражениями в стороны. Рассмотрим затем группу, порожденную отражениями сторон треугольника, которая (поскольку плитки треугольника) является неевклидова кристаллографическая группа (дискретная подгруппа гиперболических изометрий) с этим треугольником для фундаментальная область; ассоциированная мозаика - это семиугольная черепица порядка 3. Группа треугольников (2,3,7) определяется как индекс 2 подгруппа, состоящая из изометрий, сохраняющих ориентацию, которая является Фуксова группа (сохраняющая ориентацию группа NEC).

Равномерная семиугольная / треугольная мозаика v т е
Симметрия: [7,3], (*732)							[7,3]⁺, (732)


{7,3}	т {7,3}	г {7,3}	т {3,7}	{3,7}	рр {7,3}	tr {7,3}	sr {7,3}
Униформа двойников


V7³	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V3⁷	V3.4.7.4	V4.6.14	V3.3.3.3.7

Групповая презентация

Имеет представление в виде пары генераторов, грамм₂, грамм₃, по модулю следующих соотношений:

{ displaystyle g_ {2} ^ {2} = g_ {3} ^ {3} = (g_ {2} g_ {3}) ^ {7} = 1.}

Геометрически они соответствуют поворотам на ${ displaystyle { frac {2 pi} {2}}, { frac {2 pi} {3}}}$ , и ${ displaystyle { frac {2 pi} {7}}}$ о вершинах треугольника Шварца.

Кватернионная алгебра

Группа треугольников (2,3,7) допускает представление в терминах группы кватернионов нормы 1 в подходящем порядок в кватернионная алгебра. Точнее говоря, группа треугольников является фактором группы кватернионов по ее центру ± 1.

Пусть η = 2cos (2π / 7). Тогда из тождества

{ displaystyle (2- eta) ^ {3} = 7 ( eta -1) ^ {2}.}

Мы видим, что Q(η) является вполне вещественным кубическим расширением Q. (2,3,7) гиперболический группа треугольников является подгруппой группы элементов нормы 1 в алгебре кватернионов, порожденной как ассоциативная алгебра парой образующих я,j и отношения я² = j² = η, ij = −джи. Один выбирает подходящий Кватернионный порядок Гурвица ${ displaystyle { mathcal {Q}} _ { mathrm {Hur}}}$ в алгебре кватернионов. Здесь порядок ${ displaystyle Q _ { mathrm {Hur}}}$ генерируется элементами

{ displaystyle g_ {2} = { tfrac {1} { eta}} ij}

{ displaystyle g_ {3} = { tfrac {1} {2}} (1 + ( eta ^ {2} -2) j + (3- eta ^ {2}) ij).}

Фактически заказ - бесплатный Z[η] -модуль над базисом ${ displaystyle 1, g_ {2}, g_ {3}, g_ {2} g_ {3}}$ . Здесь генераторы удовлетворяют соотношениям

{ displaystyle g_ {2} ^ {2} = g_ {3} ^ {3} = (g_ {2} g_ {3}) ^ {7} = - 1, ,}

которые после факторизации по центру спускаются к соответствующим отношениям в группе треугольников.

Отношение к SL (2, R)

Визуализация отображения (2,3, ∞) → (2,3,7) путем морфирования ассоциированных мозаик.^[1]

Расширение скаляров из Q(η) к р (посредством стандартного вложения) получается изоморфизм между алгеброй кватернионов и алгеброй M (2,р) вещественных матриц 2 на 2. Выбор конкретного изоморфизма позволяет выставить треугольную группу (2,3,7) как конкретную Фуксова группа в SL (2,р), в частности, как частное от модульная группа. Это можно визуализировать с помощью связанных мозаик, как показано справа: мозаика (2, 3, 7) на диске Пуанкаре представляет собой частное от модулярной мозаики на верхней полуплоскости.

Однако для многих целей явные изоморфизмы не нужны. Таким образом, следы групповых элементов (а значит, и длины трансляции гиперболических элементов, действующих в верхняя полуплоскость, а также систолы фуксовых подгрупп) можно вычислить с помощью приведенного следа в алгебре кватернионов и формулы

{ displaystyle operatorname {tr} ( gamma) = 2 cosh ( ell _ { gamma} / 2).}

дальнейшее чтение

Элкис, Н. (1998). «Расчет кривой Шимуры». В Бюлер, Дж. П. (ред.). Алгоритмическая теория чисел. МУРАВЬИ 1998. Конспект лекций по информатике. 1423. Springer. С. 1–47. arXiv:math.NT / 0005160. Дои:10.1007 / BFb0054850. ISBN 978-3-540-69113-6.
Кац, М .; Schaps, M .; Вишне, У. (2007). «Логарифмический рост систолы арифметических римановых поверхностей по подгруппам конгруэнций». J. Differential Geom. 76 (3): 399–422. arXiv:math.DG / 0505007.

[westendorp-1] Платоновы мозаики римановых поверхностей: модульная группа, Джерард Вестендорп

[1]