Циркулярный закон - Circular law

В теория вероятности, а точнее изучение случайные матрицы, то циркулярный закон касается распределения собственные значения из п × п случайная матрица с независимые и идентично распределенные записи в пределеп → ∞.

Утверждается, что для любой последовательности случайный п × п матрицы чьи записи независимые и одинаково распределенные случайные величины, все с иметь в виду ноль и отклонение равно 1/п, предельным спектральным распределением является равномерное распределение над единичным диском.

График действительной и мнимой частей (в масштабе sqrt (1000)) собственных значений матрицы размером 1000x1000 с независимыми стандартными нормальными записями.

Точное заявление

Позволять ${\displaystyle (X_{n})_{n=1}^{\infty }}$ быть последовательностью п × п матричные ансамбли, элементы которых i.i.d. копии сложной случайной величины Икс с иметь в виду 0 и отклонение 1. Пусть ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},1\leq j\leq n}$ обозначить собственные значения из ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}$. Определите эмпирическую спектральную меру ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}$ в качестве

${\displaystyle \mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}(A)=n^{-1}\#\{j\leq n:\lambda _{j}\in A\}~,\quad A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {C} ).}$

Принимая во внимание эти определения, круговой закон утверждает, что почти наверняка (т.е. с вероятностью единица) последовательность мер ${\displaystyle \displaystyle \mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}}$ сходится в распределении к единой мере на единичном диске.

История

Для случайных матриц с гауссовым распределением элементов ( Ансамбли Ginibre), циркулярный закон был установлен в 1960-х гг. Жан Жинибр.^[1] В 80-е годы Вячеслав Гирко представил^[2] подход, который позволил установить круговой закон для более общих распределений. Был достигнут дальнейший прогресс^[3] Чжидонг Бай, который установил круговой закон при определенных предположениях о гладкости распределения.

В дальнейшем предположения были смягчены в работах Теренс Тао и Ван Х. Ву,^[4] Гуанмин Пан и Ван Чжоу,^[5] и Фридрих Гетце и Александр Тихомиров.^[6] Наконец, в 2010 году Дао и Ву доказали, что^[7] круговой закон при минимальных предположениях, указанных выше.

Результат циркулярного закона был расширен в 1988 г. Соммерсом, Крисанти, Сомполински и Штейном до эллиптического закона для ансамблей матриц с произвольными корреляциями.^[8] Эллиптические и круговые законы были далее обобщены Асейтуно, Роджерсом и Шомерусом до закона гипотрохоидов, который включает корреляции более высокого порядка.^[9]

Смотрите также

• Распределение полукруга Вигнера

Рекомендации

1. Жинибр, Жан (1965). «Статистические ансамбли комплексных, кватернионных и вещественных матриц». J. Math. Phys. 6: 440–449. Bibcode:1965JMP ..... 6..440G. Дои:10.1063/1.1704292. МИСТЕР  0173726.
2. Гирко, В. (1984). «Циркулярный закон». Теория Вероятности и ее применения. 29 (4): 669–679.
3. Бай, З.Д. (1997). «Циркулярный закон». Анналы вероятности. 25 (1): 494–529. Дои:10.1214 / aop / 1024404298. МИСТЕР  1428519.
4. Тао, Т .; Ву, В.Х. (2008). «Случайные матрицы: круговой закон». Commun. Contemp. Математика. 10 (2): 261–307. arXiv:0708.2895. Дои:10.1142 / s0219199708002788. МИСТЕР  2409368.
5. Pan, G .; Чжоу, В. (2010). «Круговой закон, экстремальные сингулярные значения и теория потенциала». J. Многомерный анализ. 101 (3): 645–656. arXiv:0705.3773. Дои:10.1016 / j.jmva.2009.08.005.
6. Götze, F .; Тихомиров, А. (2010). «Круговой закон для случайных матриц». Анналы вероятности. 38 (4): 1444–1491. arXiv:0709.3995. Дои:10.1214 / 09-aop522. МИСТЕР  2663633.
7. Тао, Теренс; Ву, Ван (2010). приложение Манджунатха Кришнапура. «Случайные матрицы: универсальность ОУР и круговой закон». Анналы вероятности. 38 (5): 2023–2065. arXiv:0807.4898. Дои:10.1214 / 10-AOP534. МИСТЕР  2722794.
8. Sommers, H.J .; Crisanti, A .; Сомполинский, Н .; Штейн, Ю. (1988). «Спектр больших асимметричных матриц». Письма с физическими проверками. 60 (19): 1895–1898.
9. Aceituno, P.V .; Роджерс, Т .; Шомерус, Х. (2019). «Универсальный гипотрохоидный закон для случайных матриц с циклическими корреляциями». Физический обзор E. 100 (1): 010302.