Локальный гомеоморфизм - Local homeomorphism

В математика, более конкретно топология, а локальный гомеоморфизм это функция между топологические пространства что интуитивно сохраняет локальную (хотя и не обязательно глобальную) структуру. Если ж : ИксY является локальным гомеоморфизмом, Икс считается эталонное пространство над Ю. Локальные гомеоморфизмы используются при изучении снопы. Типичные примеры локальных гомеоморфизмов: покрывающие карты.

Топологическое пространство Икс является локально гомеоморфный к Y если каждая точка Икс имеет район, который гомеоморфный к открытому подмножеству Y. Например, многообразие измерения п локально гомеоморфен

Если существует локальный гомеоморфизм из Икс к Y, тогда Икс локально гомеоморфен Y, но обратное не всегда верно. Например, двумерный сфера, будучи многообразием, локально гомеоморфна плоскости но между ними нет локального гомеоморфизма (в любом направлении).

Формальное определение

Позволять Икс и Y быть топологические пространства. Функция ж : ИксY является локальным гомеоморфизмом[1] если за каждую точку Икс в Икс существует открытый набор U содержащий Икс, так что изображение ж(U) открыт в Y и ограничение f |U : Uж(U) это гомеоморфизм (где соответствующие подпространственные топологии используются на U и дальше ж(U)).

Примеры

По определению каждый гомеоморфизм также является локальным гомеоморфизмом.

Если U открытое подмножество Y оснащен топология подпространства, то карта включения я : UY является локальным гомеоморфизмом. Здесь важна открытость: карта включения закрытого подмножества Y никогда не дает локального гомеоморфизма.

Позволять ж : рS1 быть картой, которая обертывает реальная линия вокруг круг (т.е. ж(т) = еЭто для всех т ϵ р). Это локальный гомеоморфизм, но не гомеоморфизм.

Позволять ж : S1S1 быть картой, которая охватывает круг вокруг себя п раз (т.е. имеет номер намотки п). Это локальный гомеоморфизм для всех ненулевых п, но гомеоморфизм только в тех случаях, когда он биективный, т.е. когда п = 1 или -1.

Обобщая предыдущие два примера, каждый карта покрытия - локальный гомеоморфизм; в частности, универсальный чехол п : CY пространства Y является локальным гомеоморфизмом. В определенных ситуациях верно обратное. Например: если Икс является Хаусдорф и Y является локально компактный и Хаусдорф и п : ИксY это правильный локальный гомеоморфизм, то п покрывающая карта.

Есть локальные гомеоморфизмы ж : ИксY куда Y это Пространство Хаусдорфа и Икс не является. Рассмотрим, например, факторное пространство Икс = (р ⨿ р)/~, где отношение эквивалентности ~ на несвязный союз из двух копий вещественных чисел идентифицирует каждое отрицательное вещественное число первой копии с соответствующим отрицательным вещественным числом второй копии. Две копии 0 не идентифицированы и у них нет непересекающихся окрестностей, поэтому Икс не Хаусдорф. Легко проверить, что естественная карта ж : Икср является локальным гомеоморфизмом. Волокно ж−1({у}) имеет два элемента, если у ≥ 0 и один элемент, если у < 0.

Аналогичным образом мы можем построить локальные гомеоморфизмы ж : ИксY куда Икс Хаусдорф и Y нет: выберите естественную карту из Икс = р ⨿ р к Y = (р ⨿ р)/~ с тем же отношением эквивалентности ~, что и выше.

Это показано в комплексный анализ что комплекс аналитический функция ж : UC (куда U является открытым подмножеством комплексная плоскость C) является локальным гомеоморфизмом именно тогда, когда производная ж ′(z) ненулевой для всех z ϵ U. Функция ж(z) = zп на открытом диске вокруг 0 ​​не является локальным гомеоморфизмом в 0, когда п не меньше 2. В этом случае 0 - это точка "разветвление "(интуитивно понятно, п листы там сходятся).

С использованием теорема об обратной функции можно показать, что непрерывно дифференцируемая функция ж : Uрп (куда U открытое подмножество рп) является локальным гомеоморфизмом, если производная DИксж является обратимым линейным отображением (обратимой квадратной матрицей) для любого Икс ϵ U. (Обратное неверно, как показывает локальный гомеоморфизм ж : рр с ж(Икс) = Икс3.) Аналогичное условие можно сформулировать для отображений между дифференцируемые многообразия.

Характеристики

Каждый локальный гомеоморфизм является непрерывный и открытая карта. А биективный поэтому локальный гомеоморфизм является гомеоморфизмом.

Локальный гомеоморфизм ж : ИксY передает "локальные" топологические свойства в обоих направлениях:

Как указывалось выше, свойство Хаусдорфа не локально в этом смысле и не должно сохраняться локальными гомеоморфизмами.

Если ж : ИксY является локальным гомеоморфизмом и U открытое подмножество Икс, то ограничение ж|U также является локальным гомеоморфизмом.

Если ж : ИксY и грамм : YZ являются локальными гомеоморфизмами, то композиция gf : ИксZ также является локальным гомеоморфизмом.

Если ж : ИксY непрерывно, грамм : YZ является локальным гомеоморфизмом и gf : ИксZ локальный гомеоморфизм, то ж также является локальным гомеоморфизмом.

Локальные гомеоморфизмы с codomain Y находятся в естественном взаимно-однозначном соответствии с снопы наборов на Y; это соответствие на самом деле эквивалентность категорий. Кроме того, каждая непрерывная карта с доменом Y порождает однозначно определенный локальный гомеоморфизм с областью области Y естественным образом. Обо всем этом подробно рассказывается в статье на снопы.

Обобщения и аналогичные концепции

Идея локального гомеоморфизма может быть сформулирована в геометрических условиях, отличных от топологических пространств. За дифференцируемые многообразия, получаем локальные диффеоморфизмы; за схемы, у нас есть формально этальные морфизмы и этальные морфизмы; и для топы, мы получаем этальные геометрические морфизмы.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Prentice Hall. ISBN  0-13-181629-2.