Γ-сходимость - Γ-convergence - Wikipedia

в вариационное исчисление, Γ-сходимость (Гамма-сходимость) - понятие сходимости для функционалы. Он был представлен Эннио де Джорджи.

Определение

Позволять быть топологическое пространство и обозначим множество всех окрестностей точки . Пусть дальше последовательность функционалов на . В и определяются следующим образом:

.

говорят -сходиться к , если существует функционал такой, что .

Определение в первых счетных пространствах

В пробелы с первым счетом, приведенное выше определение можно охарактеризовать в терминах последовательных -сходимость следующим образом. быть место с первым счетом и последовательность функционалов на . потом говорят -сходиться к -предел если выполнены следующие два условия:

  • Неравенство нижней границы: для каждой последовательности такой, что в качестве ,
  • Неравенство верхней границы: для каждого , есть последовательность сходится к такой, что

Первое условие означает, что дает общую асимптотическую нижнюю оценку для . Второе условие означает, что эта нижняя оценка оптимальна.

Связь с конвергенцией Куратовского

-конвергенция связана с понятием Куратовский-конвергенция наборов. Позволять обозначить эпиграф функции и разреши последовательность функционалов на . потом

куда обозначает низшие сорта лайма по Куратовски и Лаймы Куратовского превосходят по топологии продукции . Особенно, -сходится к в если и только если -сходится к в . Это причина, по которой -конвергенция иногда называется эпи-конвергенция.

Характеристики

  • Минимайзеры сходятся к минимизаторам: если -сходиться к , и минимизатор для , то каждая кластерная точка последовательности минимизатор .
  • -пределы всегда полунепрерывный снизу.
  • -сходимость устойчива относительно непрерывных возмущений: если -сходится к и непрерывно, то буду -сходиться к .
  • Постоянная последовательность функционалов не обязательно -сходиться к , но к расслабление из , наибольший полунепрерывный снизу функционал ниже .

Приложения

Важное применение для -конвергенция в теория гомогенизации. Его также можно использовать для строгого обоснования перехода от дискретных теорий к континуальным для материалов, например, в эластичность теория.

Смотрите также

Рекомендации

  • А. Косы: Γ-сходимость для начинающих. Издательство Оксфордского университета, 2002.
  • Г. Даль Мазо: Введение в Γ-сходимость. Биркхойзер, Базель 1993.