ANOVA – одновременный компонентный анализ - ANOVA–simultaneous component analysis

Дисперсионный анализ - одновременный компонентный анализ (ASCA или же ANOVA – SCA) - это метод, который разбивает вариация и позволяет интерпретировать эти разделы с помощью SCA, метод, аналогичный анализ главных компонентов (PCA). Этот метод многомерный или даже мегавариантное расширение дисперсионный анализ (ANOVA). Вариационное разбиение аналогично ANOVA. Каждый раздел соответствует всем вариациям, вызванным эффектом или фактор, обычно режим лечения или экспериментальные условия. Вычисленные разделы эффекта называются оценками эффекта. Поскольку даже оценки эффекта являются многомерными, интерпретация этих оценок эффектов не является интуитивной. Применяя SCA к оценкам эффекта, можно получить простой интерпретируемый результат.^[1]^[2]^[3]В случае нескольких эффектов этот метод оценивает эффекты таким образом, что различные эффекты не коррелируют.

Подробности

Во многих областях исследований наблюдается рост количества переменные только в нескольких образцы. Низкое соотношение выборки и переменной создает проблемы, известные как мультиколлинеарность и необычность. Из-за этого нельзя применять большинство традиционных методов многомерной статистики.

Алгоритм ASCA

В этом разделе подробно описано, как рассчитать модель ASCA для случая двух основных эффектов с одним эффектом взаимодействия. Заявленное обоснование легко расширить на большее количество основных эффектов и эффектов взаимодействия. Если первый эффект - это время, а второй - дозировка, существует только взаимодействие между временем и дозировкой. Мы предполагаем, что существует четыре временных точки и три уровня дозировки.

Пусть X - матрица который содержит данные. X является средним центром, таким образом, имея столбцы с нулевым средним. Пусть A и B обозначают основные эффекты, а AB - взаимодействие этих эффектов. Двумя основными эффектами в биологическом эксперименте могут быть время (A) и pH (B), и эти два эффекта могут взаимодействовать. При разработке таких экспериментов можно управлять основными эффектами на нескольких (как минимум, двух) уровнях. Различные уровни эффекта могут быть обозначены как A1, A2, A3 и A4, что соответствует 2, 3, 4, 5 часам от начала эксперимента. То же самое справедливо и для эффекта B, например, pH 6, pH 7 и pH 8 могут считаться уровнями воздействия.

A и B должны быть сбалансированы, если оценки эффекта должны быть ортогональными, а разделение - уникальным. Матрица E содержит информацию, которая не связана ни с каким эффектом. Разбиение дает следующие обозначения:

{displaystyle X = A + B + AB + E,}

Расчет оценки основного эффекта A (или B)

Найдите все строки, которые соответствуют уровню эффекта A 1, и усредните эти строки. В результате вектор. Повторите это для других уровней эффекта. Создайте новую матрицу того же размера X и поместите вычисленные средние в соответствующие строки. То есть присвойте всем строкам, которые соответствуют эффекту (т.е. уровню 1), среднее значение эффекта A уровня 1. После завершения оценок уровня для эффекта выполните SCA. Баллы этого SCA являются выборочными отклонениями для эффекта, важные переменные этого эффекта находятся в весах вектора нагрузки SCA.

Расчет оценки эффекта взаимодействия AB

Оценка эффекта взаимодействия аналогична оценке основных эффектов. Разница в том, что для оценок взаимодействия строки, соответствующие эффекту A уровня 1, комбинируются с эффектом B уровня 1, и все комбинации эффектов и уровней проходят циклически. В нашем примере настройки с четырьмя временными точками и тремя уровнями дозировки есть 12 наборов взаимодействий {A1-B1, A1B2, A2B1, A2B2 и так далее}. Перед оценкой эффекта взаимодействия важно сдуть (удалить) основные эффекты.

SCA на разделах A, B и AB

Одновременный компонентный анализ математически идентичен PCA, но семантически отличается тем, что моделирует разные объекты или субъекты одновременно. Стандартные обозначения для моделей SCA и PCA:

{displaystyle X = TP ^ {'} + E,}

куда Икс это данные, Т баллы компонентов и п - нагрузки компонентов. E это остаток или ошибка матрица. Поскольку ASCA моделирует вариационные разделы с помощью SCA, модель оценок эффекта выглядит следующим образом:

{displaystyle A = T_ {a} P_ {a} ^ {'} + E_ {a},}

{displaystyle B = T_ {b} P_ {b} ^ {'} + E_ {b},}

{displaystyle AB = T_ {ab} P_ {ab} ^ {'} + E_ {ab},}

{displaystyle E = T_ {e} P_ {e} ^ {'} + E_ {e},}

Обратите внимание, что каждый раздел имеет свою собственную матрицу ошибок. Однако алгебра диктует, что в сбалансированном среднецентрированном наборе данных каждая двухуровневая система имеет классифицировать 1. Это приводит к нулю ошибок, поскольку любая матрица ранга 1 может быть записана как произведение оценки одного компонента и вектора нагрузки.

Полная модель ASCA с двумя эффектами и взаимодействием, включая SCA, выглядит так:

Разложение:

{displaystyle X = A + B + AB + E,}

{displaystyle X = T_ {a} P_ {a} ^ {'} + T_ {b} P_ {b} ^ {'} + T_ {ab} P_ {ab} ^ {'} + T_ {e} P_ {e } ^ {'} + E_ {a} + E_ {b} + E_ {ab} + E_ {e} + E,}

Время как эффект

Поскольку «время» рассматривается как качественный фактор в разложении ANOVA, предшествующем ASCA, можно смоделировать нелинейную многомерную траекторию времени. Пример этого показан на рисунке 10 этого справочного материала.^[4]