Абсолютное представление группы - Absolute presentation of a group - Wikipedia

В математика, абсолютное представление это один из методов определения группа.^[1]

Напомним, что для определения группы ${\displaystyle G\ }$ с помощью презентация, один указывает набор ${\displaystyle S\ }$ из генераторы так что каждый элемент группы может быть записан как произведение некоторых из этих генераторов и множества ${\displaystyle R\ }$ из связи среди тех генераторов. В символах:

${\displaystyle G\simeq \langle S\mid R\rangle .}$

Неформально ${\displaystyle G\ }$ группа, порожденная множеством ${\displaystyle S\ }$ такой, что ${\displaystyle r=1\ }$ для всех ${\displaystyle r\in R}$. Но здесь есть молчаливое предположение который ${\displaystyle G\ }$ является самой «свободной» такой группой, поскольку очевидно, что отношения удовлетворяются в любом гомоморфный изображение ${\displaystyle G\ }$. Один из способов избавиться от этого неявного предположения - указать, что определенные слова в ${\displaystyle S\ }$ не должно быть равно ${\displaystyle 1.}$ То есть мы указываем набор ${\displaystyle I\ }$, называется набором несоответствия, так что ${\displaystyle i\neq 1\ }$ для всех ${\displaystyle i\in I}$.

Формальное определение

Чтобы определить абсолютное представление группы ${\displaystyle G\ }$ один определяет набор ${\displaystyle S\ }$ генераторов, набор ${\displaystyle R\ }$ отношений между этими генераторами и набором ${\displaystyle I\ }$ несоответствий между этими генераторами. Затем мы говорим ${\displaystyle G\ }$ имеет абсолютное представление

${\displaystyle \langle S\mid R,I\rangle .}$

при условии, что:

1. ${\displaystyle G\ }$ имеет презентация ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle .}$
2. Учитывая любые гомоморфизм ${\displaystyle h:G\rightarrow H}$ такие, что безразличия ${\displaystyle I\ }$ удовлетворены в ${\displaystyle h(G)\ }$, ${\displaystyle G\ }$ является изоморфный к ${\displaystyle h(G)\ }$.

Более алгебраический, но эквивалентный способ сформулировать условие 2:

2а. если ${\displaystyle N\triangleleft G\ }$ нетривиальный нормальная подгруппа из ${\displaystyle G}$ тогда ${\displaystyle I\cap N\neq \left\{1\right\}.}$

Замечание: Концепция абсолютного представления оказалась плодотворной в таких областях, как алгебраически замкнутые группы и Топология Григорчука.В литературе, в контексте обсуждения абсолютных представлений, представление (в обычном смысле этого слова) иногда упоминается как относительное представление, который является экземпляром ретроним.

Пример

В циклическая группа порядка 8 есть презентация

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1\rangle .}$

Но с точностью до изоморфизма есть еще три группы, которые «удовлетворяют» соотношению ${\displaystyle a^{8}=1\,}$ а именно:

${\displaystyle \langle a\mid a^{4}=1\rangle }$

${\displaystyle \langle a\mid a^{2}=1\rangle }$ и

${\displaystyle \langle a\mid a=1\rangle .}$

Однако ни один из них не удовлетворяет условию ${\displaystyle a^{4}\neq 1}$. Итак, абсолютное представление циклической группы порядка 8:

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1,a^{4}\neq 1\rangle .}$

Это часть определения абсолютного представления, что ирреляции не выполняются ни в каком собственном гомоморфном образе группы. Следовательно:

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1,a^{2}\neq 1\rangle }$

Является нет абсолютное представление для циклической группы порядка 8, потому что ирреляция ${\displaystyle a^{2}\neq 1}$ в циклической группе порядка 4.

Фон

Понятие абсолютного представления возникает из Бернхард Нойманн исследование проблема изоморфизма за алгебраически замкнутые группы.^[1]

Общая стратегия рассмотрения вопроса о том, могут ли две группы ${\displaystyle G\,}$ и ${\displaystyle H\,}$ находятся изоморфный заключается в том, чтобы рассмотреть, можно ли преобразовать презентацию одного в презентацию другого. Однако алгебраически замкнутые группы не являются ни конечно порожденными, ни рекурсивно представленный и поэтому сравнивать их презентации невозможно. Нойманн рассмотрел следующую альтернативную стратегию:

Предположим, мы знаем, что группа ${\displaystyle G\,}$ с конечным представлением ${\displaystyle G=\langle x_{1},x_{2}\mid R\rangle }$ вкладывается в алгебраически замкнутую группу ${\displaystyle G^{*}\,}$ затем дана другая алгебраически замкнутая группа ${\displaystyle H^{*}\,}$, мы можем спросить "Может ли ${\displaystyle G\,}$ быть встроенным в ${\displaystyle H^{*}\,}$?"

Вскоре становится очевидным, что презентация для группы не содержит достаточно информации, чтобы принять это решение, пока может быть гомоморфизм. ${\displaystyle h:G\rightarrow H^{*}}$, этот гомоморфизм не обязательно должен быть вложением. Требуется спецификация для ${\displaystyle G^{*}\,}$ это «вынуждает» любой гомоморфизм, сохраняющий эту спецификацию, быть вложением. Абсолютное представление делает именно это.

Рекомендации

1. Б. Нойман, Проблема изоморфизма для алгебраически замкнутых групп, в: Проблемы слов, проблемы решения и проблема Бернсайда в теории групп, Амстердам-Лондон (1973), стр. 553–562.