Сопряженное уравнение - Adjoint equation

An сопряженное уравнение это линейное дифференциальное уравнение, обычно выводится из его первичного уравнения с использованием интеграция по частям. Значения градиента по отношению к конкретной представляющей интерес величине могут быть эффективно вычислены путем решения сопряженного уравнения. Методы, основанные на решении сопряженных уравнений, используются в оптимизация формы крыла, контроль потока жидкости и количественная оценка неопределенности. Например ${displaystyle dX_{t}=a(X_{t})dt+b(X_{t})dW}$ это Itō стохастическое дифференциальное уравнение. Теперь, используя схему Эйлера, мы интегрируем части этого уравнения и получаем другое уравнение, ${displaystyle X_{n+1}=X_{n}+aDelta t+zeta b{sqrt {Delta t}}}$, здесь ${displaystyle zeta }$ - случайная величина, позже - сопряженное уравнение.

Пример: адвекционно-диффузионная PDE

Рассмотрим следующие линейные скалярные уравнение адвекции-диффузии для первичного решения ${displaystyle u({vec {x}})}$, в домене ${displaystyle Omega }$ с Граничные условия Дирихле:

${displaystyle {egin{aligned}abla cdot left({vec {c}}u-mu abla uight)&=f,qquad {vec {x}}in Omega ,u&=b,qquad {vec {x}}in partial Omega .end{aligned}}}$

Пусть интересующий результат будет следующим линейным функционалом:

${displaystyle J(u)=int _{Omega }gu dV.}$

Вывести слабая форма путем умножения прямого уравнения на весовую функцию ${displaystyle w({vec {x}})}$ и выполнение интеграции по частям:

${displaystyle {egin{aligned}B(u,w)&=L(w),end{aligned}}}$

куда,

${displaystyle {egin{aligned}B(u,w)&=int _{Omega }wabla cdot left({vec {c}}u-mu abla uight)dV&=int _{partial Omega }wleft({vec {c}}u-mu abla uight)cdot {vec {n}}dA-int _{Omega }abla wcdot left({vec {c}}u-mu abla uight)dV,qquad { ext{(Integration by parts)}}L(w)&=int _{Omega }wf dV.end{aligned}}}$

Затем рассмотрим бесконечно малое возмущение ${displaystyle L(w)}$ что приводит к бесконечно малому изменению ${displaystyle u}$ следующим образом:

${displaystyle {egin{aligned}B(u+u',w)&=L(w)+L'(w)B(u',w)&=L'(w).end{aligned}}}$

Отметим, что возмущение решения ${displaystyle u'}$ должен обращаться в нуль на границе, так как граничное условие Дирихле не допускает изменения ${displaystyle partial Omega }$.

Используя приведенную выше слабую форму и определение присоединенного ${displaystyle psi ({vec {x}})}$ приведен ниже:

${displaystyle {egin{aligned}L'(psi )&=J(u')B(u',psi )&=J(u'),end{aligned}}}$

мы получаем:

${displaystyle {egin{aligned}int _{partial Omega }psi left({vec {c}}u'-mu abla u'ight)cdot {vec {n}}dA-int _{Omega }abla psi cdot left({vec {c}}u'-mu abla u'ight)dV&=int _{Omega }gu' dV.end{aligned}}}$

Затем используйте интеграцию по частям для переноса производных от ${displaystyle u'}$ в производные от ${displaystyle psi }$:

${displaystyle {egin{aligned}int _{partial Omega }psi left({vec {c}}u'-mu abla u'ight)cdot {vec {n}}dA-int _{Omega }abla psi cdot left({vec {c}}u'-mu abla u'ight)dV-int _{Omega }gu' dV&=0int _{partial Omega }psi left({vec {c}}u'-mu abla u'ight)cdot {vec {n}}dA+int _{Omega }u'left(-{vec {c}}cdot abla psi ight)dV+int _{Omega }abla u'cdot left(mu abla psi ight)dV-int _{Omega }gu' dV&=0int _{partial Omega }psi left({vec {c}}u'-mu abla u'ight)cdot {vec {n}}dA+int _{Omega }u'left(-{vec {c}}cdot abla psi ight)dV+int _{partial Omega }u'left(mu abla psi ight)cdot {vec {n}}dA-int _{Omega }u'abla cdot left(mu abla psi ight)dV-int _{Omega }gu' dV&=0qquad { ext{(Repeating integration by parts on diffusion volume term)}}int _{Omega }u'left[-{vec {c}}cdot abla psi -abla cdot left(mu abla psi ight)-gight]dV+int _{partial Omega }psi left({vec {c}}u'-mu abla u'ight)cdot {vec {n}}dA+int _{partial Omega }u'left(mu abla psi ight)cdot {vec {n}}dA&=0.end{aligned}}}$

Сопряженное УЧП и его граничные условия могут быть выведены из последнего уравнения выше. С ${displaystyle u'}$ обычно отличен от нуля в пределах домена ${displaystyle Omega }$, требуется, чтобы ${displaystyle left[-{vec {c}}cdot abla psi -abla cdot left(mu abla psi ight)-gight]}$ быть нулевым в ${displaystyle Omega }$, чтобы термин объема исчез. Точно так же, поскольку первичный поток ${displaystyle left({vec {c}}u'-mu abla u'ight)cdot {vec {n}}}$ в общем случае отлична от нуля на границе, потребуем ${displaystyle psi }$ быть нулем там, чтобы первый граничный член обратился в нуль. Второй граничный член исчезает тривиально, поскольку прямое граничное условие требует ${displaystyle u'=0}$ на границе.

Таким образом, сопряженная задача определяется выражением:

${displaystyle {egin{aligned}-{vec {c}}cdot abla psi -abla cdot left(mu abla psi ight)&=g,qquad {vec {x}}in Omega ,psi &=0,qquad {vec {x}}in partial Omega .end{aligned}}}$

Обратите внимание, что член адвекции меняет знак конвективной скорости ${displaystyle {vec {c}}}$ в сопряженном уравнении, тогда как диффузионный член остается самосопряженным.

Смотрите также

• Метод сопряженного состояния
• Уравнения Костейта

Рекомендации

• Джеймсон, Энтони (1988). «Аэродинамический дизайн с помощью теории управления». Журнал научных вычислений. 3 (3).