Александровская доска - Alexandroff plank

Александровская доска в топология, площадь математика, это топологическое пространство это служит поучительным примером.

Определение

Схема александровской доски

Построение доски Александрова начинается с определения топологического пространства. ${\displaystyle (X,\tau )}$ быть Декартово произведение из ${\displaystyle [0,\omega _{1}]}$ и ${\displaystyle [-1,1]}$, куда ${\displaystyle \omega _{1}}$ это первый несчетный порядковый номер, и оба несут интервальная топология. Топология ${\displaystyle \tau }$ расширяется до топологии ${\displaystyle \sigma }$ добавляя наборы формы

${\displaystyle U(\alpha ,n)=\{p\}\cup (\alpha ,\omega _{1}]\times (0,1/n)}$

куда ${\displaystyle p=(\omega _{1},0)\in X}$.

Планка Александрова - топологическое пространство ${\displaystyle (X,\sigma )}$.

Планка называется планкой, так как она построена из подпространства произведения двух пространств.

Характеристики

Космос ${\displaystyle (X,\sigma )}$ удовлетворяет, что:

1. является Урысон, поскольку ${\displaystyle (X,\tau )}$ является обычный. Космос ${\displaystyle (X,\sigma )}$ не является регулярным, так как ${\displaystyle C=\{(\alpha ,0)\mid \alpha <\omega _{1}\}}$ замкнутое множество, не содержащее ${\displaystyle (\omega _{1},0)}$, в то время как каждый район ${\displaystyle C}$ пересекает каждую окрестность ${\displaystyle (\omega _{1},0)}$.
2. является полуправильный, поскольку каждый основа прямоугольник в топологии ${\displaystyle \tau }$ - регулярное открытое множество, как и множества ${\displaystyle U(\alpha ,n)}$ определенное выше, с которым была расширена топология.
3. не является счетно компактный, поскольку множество ${\displaystyle \{(\omega _{1},-1/n)\mid n=2,3,\ldots \}}$ не имеет верхнего предельная точка.
4. не является метакомпакт, поскольку если ${\displaystyle \{V_{\alpha }\}}$ покрытие порядковый номер ${\displaystyle [0,\omega _{1})}$ с не точечно-конечный изысканность, то покрытие ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ из ${\displaystyle X}$ определяется ${\displaystyle U_{1}=\{(0,\omega _{1})\}\cup ([0,\omega _{1}]\times (0,1])}$, ${\displaystyle U_{2}=[0,\omega _{1}]\times [-1,0)}$, и ${\displaystyle U_{\alpha }=V_{\alpha }\times [-1,1]}$ не имеет точечно-конечного измельчения.

Рекомендации

• Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший, Контрпримеры в топологии. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1995. ISBN  0-486-68735-X (Дуврское издание).
• С. Ватсон, Построение топологических пространств. Недавний прогресс в общей топологии, Elsevier, 1992.