Теория мин-макс Альмгрена – Питтса - Almgren–Pitts min-max theory - Wikipedia

В математика, то Теория мин-макс Альмгрена – Питтса (названный в честь Фредерик Дж. Альмгрен-младший. и его ученик Джон Т. Питтс ) является аналогом Теория Морса за гиперповерхности.

Теория началась с попыток обобщить Джордж Дэвид Биркофф метод построения простых замкнутых геодезические на сфере, чтобы позволить строительство встроенный минимальные поверхности в произвольном 3-х коллектор.^[1]

Он сыграл роль в решении ряда догадки в геометрия и топология найденные самими Альмгреном и Питтсом, а также другими математиками, такими как Михаил Громов, Ричард Шон, Шинг-Тунг Яу, Фернандо Кода Маркес, Андре Невес, Ян Агол, среди прочего.^{[2][3][4][5][6][7][8][9][10]}

Описание и основные понятия

Теория позволяет построить встроенный минимальные гиперповерхности вариационными методами.^[11]

В своей кандидатской диссертации Альмгрен доказал, что m-й гомотопическая группа пространства плоских k-мерных циклов на замкнутой Риманово многообразие изоморфна (m + k) -мерной гомология группы M. Этот результат является обобщением Теорема Дольда – Тома, который можно рассматривать как случай k = 0 теоремы Альмгрена. Существование нетривиальных гомотопических классов в пространстве циклов предполагает возможность построения минимальных подмногообразий как седловых точек функции объема, как в Теория Морса. В своей последующей работе Альмгрен использовал эти идеи, чтобы доказать, что для любого k = 1, ..., n-1 замкнутое n-мерное риманово многообразие содержит стационарное целое k-мерное варифолд, обобщение минимального подмногообразия, которое может иметь особенности. Аллард показал, что такие обобщенные минимальные подмногообразия регулярны на открытом и плотном подмножестве.

В 1980-х годах ученику Альмгрена Джон Питтс удалось значительно улучшить теорию регулярности минимальных подмногообразий, полученную Альмгреном в случае коразмерности 1. Он показал, что, когда размерность n многообразия находится между 3 и 6, минимальная гиперповерхность, полученная с помощью метода Альмгрена min -макс метод гладкий. Ключевой новой идеей доказательства было понятие 1 / j-почти минимизирующих варифолдов. Ричард Шон и Леон Саймон расширил этот результат на более высокие измерения. В частности, они показали, что каждое n-мерное риманово многообразие содержит замкнутую минимальную гиперповерхность, построенную с помощью метода min-max, гладкую от замкнутого множества размерности n-8.

Рассматривая семейства циклов коразмерности 1 со старшими параметрами, можно найти различные минимальные гиперповерхности. Такую конструкцию использовали Фернандо Маркес и Андре Невес в их доказательстве Гипотеза Уиллмора.^[12][13]

Смотрите также

• Варифолд
• Геометрическая теория меры
• Геометрический анализ
• Минимальная поверхность
• Гипотеза Фридмана – Хе – Ванга
• Гипотеза Уиллмора
• Гипотеза Яу

Рекомендации

1. Тобиас Колдинг и Камилло Де Леллис: "Построение минимума-максимума минимальных поверхностей ", Обзоры по дифференциальной геометрии
2. Джакинта, Мариано; Муччи, Доменико (2006). «BV-энергия отображений в многообразие: результаты релаксации и плотности». Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze, Sér. 5, 5. С. 483–548. Архивировано из оригинал на 2015-06-10. Получено 2015-05-02.
3. Хельге Холден, Рагни Пиене - Премия Абеля 2008-2012, стр. 203.
4. Роберт Оссерман - Обзор минимальных поверхностей, с. 160.
5. «Контент в Интернете - CDM 2013 Статья 1». Intlpress.com. Получено 2015-05-31.
6. Фернандо К. Маркес; Андре Невес. "Приложения теории Мин-Макса Альмгрена-Питтса" (PDF). F.imperial.ac.uk. Получено 2015-05-31.
7. Даниэль Кетовер. «Вырождение минимально-максимальных последовательностей в трехмерных многообразиях». arXiv:1312.2666.
8. Синь Чжоу. «Мин-макс гиперповерхность в многообразии положительной кривизны Риччи» (PDF). Arvix.org. Получено 2015-05-31.
9. Стефан Сабурау. «Объем минимальных гиперповерхностей в многообразиях неотрицательной кривизны Риччи» (PDF). Arvix.org. Получено 2015-05-31.
10. Дави Максимо; Ивальдо Нуньес; Грэм Смит. «Минимальные кольца со свободной границей в выпуклых трехмерных многообразиях». arXiv:1312.5392.
11. Чжоу Синь (2015). "Мин-макс минимальная гиперповерхность в ${\displaystyle (M^{n+1},g)}$ с ${\displaystyle Ric\geq 0}$ и ${\displaystyle 2\leq n\leq 6}$". J. Дифференциальная геометрия. 100 (1): 129–160. Дои:10.4310 / jdg / 1427202766.
12. https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2FBF02922665.pdf
13. Маркес, Фернандо и Невес, Андре. (2020). Применение методов Мин – Макс к геометрии. 10.1007 / 978-3-030-53725-8_2.

дальнейшее чтение

• Фредерик Дж. Альмгрен (1964). Теория варифолдов: вариационное исчисление в целом для K-мерного интегранта по площади. Институт перспективных исследований.
• Джон Т. Питтс (1981). Существование и регулярность минимальных поверхностей на римановых многообразиях. Princeton University Press. ISBN  978-0-691-08290-5.
• Мемариан, Яшар (2013). «Заметка о геометрии римановых многообразий с положительной кривизной». arXiv:1312.0792 [math.MG ].
• Le Centre de recherches mathématiques, CRM Le Bulletin, Осень / Осень 2015 г. - Том 21, № 2, стр. 10–11. Иосиф Полтерович (Монреаль) и Алина Станку (Конкордия), «Лекции Ниренберга по геометрическому анализу 2015 г.: Min-Max Теория и геометрия, Андре Невес "