Переменный полином - Alternating polynomial

В алгебре переменный многочлен это многочлен ${ displaystyle f (x_ {1}, dots, x_ {n})}$ таким образом, что если переключить любые две переменные, многочлен меняет знак:

{ displaystyle f (x_ {1}, dots, x_ {j}, dots, x_ {i}, dots, x_ {n}) = - f (x_ {1}, dots, x_ {i} , dots, x_ {j}, dots, x_ {n}).}

Эквивалентно, если один переставляет переменные, многочлен изменяется по значению на знак перестановки:

{ displaystyle f left (x _ { sigma (1)}, dots, x _ { sigma (n)} right) = mathrm {sgn} ( sigma) f (x_ {1}, dots, x_ {n}).}

В более общем смысле, полином ${ displaystyle f (x_ {1}, dots, x_ {n}, y_ {1}, dots, y_ {t})}$ как говорят чередование ${ displaystyle x_ {1}, dots, x_ {n}}$ если он меняет знак, если переключить любые два из ${ displaystyle x_ {i}}$ , оставив ${ displaystyle y_ {j}}$ исправлено.^[1]

Связь с симметричными многочленами

Продукция симметричный и чередующиеся многочлены (от тех же переменных ${ displaystyle x_ {1}, dots, x_ {n}}$ ) ведут себя так:

произведение двух симметричных многочленов симметрично,
произведение симметричного многочлена и знакопеременного многочлена чередуется, и
произведение двух чередующихся многочленов симметрично.

Это как раз таблица сложения для паритет, где «симметричный» соответствует «четному», «чередующийся» соответствует «нечетному». Таким образом, прямая сумма пространств симметричных и знакопеременных многочленов образует супералгебра (а ${ displaystyle mathbf {Z} _ {2}}$ -градуированная алгебра ), где симметричные многочлены являются четной частью, а чередующиеся многочлены - нечетной частью. Эта градуировка не связана с градуировкой многочленов с помощью степень.

В частности, знакопеременные многочлены образуют модуль над алгеброй симметрических многочленов (нечетная часть супералгебры - это модуль над четной частью); по сути, это бесплатный модуль ранга 1, с Полином Вандермонда в п переменные как генератор.

Если характеристика коэффициента кольцо равно 2, между этими двумя понятиями нет разницы: чередующиеся многочлены - это в точности симметричные многочлены.

Полином Вандермонда

Основной знакопеременный многочлен - это Полином Вандермонда:

{ displaystyle v_ {n} = prod _ {1 leq i

Это явно чередование, так как переключение двух переменных меняет знак одного члена и не меняет другие.^[2]

Чередующиеся многочлены - это в точности многочлен Вандермонда, умноженный на симметричный многочлен: ${ displaystyle a = v_ {n} cdot s}$ где ${ displaystyle s}$ симметрично, потому что:

${ displaystyle v_ {n}}$ является множителем каждого переменного многочлена: ${ displaystyle (x_ {j} -x_ {i})}$ является множителем каждого знакопеременного многочлена, как если бы ${ displaystyle x_ {i} = x_ {j}}$ , многочлен равен нулю (поскольку переключение их не меняет многочлен, мы получаем

{ displaystyle f (x_ {1}, dots, x_ {i}, dots, x_ {j}, dots, x_ {n}) = f (x_ {1}, dots, x_ {j}, dots, x_ {i}, dots, x_ {n}) = - f (x_ {1}, dots, x_ {i}, dots, x_ {j}, dots, x_ {n}), }

так

{ displaystyle (x_ {j} -x_ {i})}

фактор), и поэтому

{ displaystyle v_ {n}}

фактор.

переменный многочлен, умноженный на симметричный многочлен, является переменным многочленом; таким образом, все кратные ${ displaystyle v_ {n}}$ чередующиеся многочлены

И наоборот, отношение двух чередующихся полиномов является симметричной функцией, возможно, рациональной (не обязательно полиномом), хотя отношение чередующегося полинома к полиному Вандермонда является полиномом.Полиномы Шура определяются таким образом, как знакопеременный многочлен, деленный на многочлен Вандермонда.

Структура кольца

Таким образом, обозначая кольцо симметрических многочленов через Λ_п, кольцо симметричных и знакопеременных многочленов есть ${ displaystyle Lambda _ {n} [v_ {n}]}$ , а точнее ${ displaystyle Lambda _ {n} [v_ {n}] / langle v_ {n} ^ {2} - Delta rangle}$ , где ${ displaystyle Delta = v_ {n} ^ {2}}$ - симметричный многочлен, дискриминант.

То есть кольцо симметричных и знакопеременных многочленов есть квадратичное расширение кольца симметричных многочленов, к которому добавлен квадратный корень из дискриминанта.

В качестве альтернативы это:

{ displaystyle R [e_ {1}, dots, e_ {n}, v_ {n}] / langle v_ {n} ^ {2} - Delta rangle.}

Если 2 не обратимо, ситуация несколько иная, и нужно использовать другой многочлен ${ displaystyle W_ {n}}$ , и получает другое соотношение; см. Романьи.

Теория представлений

С точки зрения теория представлений, симметричный и знакопеременный многочлены являются подпредставлениями действие симметрической группы на п буквы на кольце многочленов в п переменные. (Формально симметрическая группа действует на п буквы, и, таким образом, действует на производные объекты, в частности бесплатные объекты на п буквы, такие как кольцо многочленов.)

Симметрическая группа имеет два одномерных представления: тривиальное представление и знаковое представление. Симметричные многочлены - это тривиальное представление, а переменные многочлены - это знаковое представление. Формально скалярная оболочка любого симметрического (соответственно, знакопеременного) многочлена является тривиальным (соответственно знаковым) представлением симметрической группы, а умножение полиномов тензорами представлений.

В характеристике 2 это не отдельные представления, и анализ более сложен.

Если ${ displaystyle n> 2}$ , существуют также другие подпредставления действия симметрической группы на кольце многочленов, как обсуждалось в теория представлений симметрической группы.

Нестабильный

Чередующиеся многочлены - явление нестабильное (на языке теория стабильной гомотопии ): кольцо симметрических многочленов от п переменные могут быть получены из кольца симметричных многочленов от произвольного числа переменных путем вычисления всех переменных выше ${ displaystyle x_ {n}}$ к нулю: симметричные многочлены, таким образом стабильный или совместимо определено. Однако это не так для чередующихся многочленов, в частности Полином Вандермонда.

Смотрите также

Примечания

^ Полиномиальные тождества и асимптотические методы, п. 12
^ Скорее, он только переставляет другие термины: для ${ displaystyle n = 3}$ , переключение ${ displaystyle x_ {1}}$ и ${ displaystyle x_ {2}}$ изменения ${ displaystyle (x_ {2} -x_ {1})}$ к ${ displaystyle (x_ {1} -x_ {2}) = - (x_ {2} -x_ {1})}$ , и обмены ${ displaystyle (x_ {3} -x_ {1})}$ с ${ displaystyle (x_ {3} -x_ {2})}$ , но не меняет знак.

использованная литература

А. Джамбруно, Михаил Зайцев, Полиномиальные тождества и асимптотические методы, Книжный магазин AMS, 2005 г. ISBN 978-0-8218-3829-7, стр.352
Основная теорема об альтернированных функциях, Матье Романьи, 15 сентября 2005 г.

[1] Полиномиальные тождества и асимптотические методы, п. 12

[2] Скорее, он только переставляет другие термины: для ${ displaystyle n = 3}$ , переключение ${ displaystyle x_ {1}}$ и ${ displaystyle x_ {2}}$ изменения ${ displaystyle (x_ {2} -x_ {1})}$ к ${ displaystyle (x_ {1} -x_ {2}) = - (x_ {2} -x_ {1})}$ , и обмены ${ displaystyle (x_ {3} -x_ {1})}$ с ${ displaystyle (x_ {3} -x_ {2})}$ , но не меняет знак.

[1]

[2]