Аналитическое пространство - Analytic space

О неархимедовых аналитических пространствах см. Пространство Берковича.

An аналитическое пространство является обобщением аналитическое многообразие это позволяет особенности. Аналитическое пространство - это пространство, которое локально так же, как аналитическое разнообразие. Они занимают видное место в изучении несколько сложных переменных, но они также появляются в других контекстах.

Определение

Исправить поле k с оценкой. Предположим, что поле является полным, а не дискретным относительно этой оценки. Например, сюда входят р и C относительно их обычных абсолютных значений, а также полей Серия Puiseux относительно их естественных оценок.

Позволять U быть открытым подмножеством k^п, и разреши ж₁, ..., ж_k быть собранием аналитические функции на U. Обозначим через Z общий исчезающий локус ж₁, ..., ж_k, то есть пусть Z = { Икс | ж₁(Икс) = ... = ж_k(Икс) = 0 }. Z аналитическое многообразие.

Предположим, что структура пучок из U является ${displaystyle {mathcal {O}}_{U}}$. потом Z имеет структурный пучок ${displaystyle {mathcal {O}}_{Z}={mathcal {O}}_{U}/{mathcal {I}}_{Z}}$, куда ${displaystyle {mathcal {I}}_{Z}}$ идеал, порожденный ж₁, ..., ж_k. Другими словами, структурный пучок Z состоит из всех функций на U по модулю возможных способов, которыми они могут отличаться за пределами Z.

An аналитическое пространство является локально окольцованным пространством ${displaystyle (X,{mathcal {O}}_{X})}$ так что вокруг каждой точки Икс из Икс, существует открытая окрестность U такой, что ${displaystyle (U,{mathcal {O}}_{U})}$ изоморфно (как локально окольцованные пространства) аналитическому многообразию со своим структурным пучком. Такой изоморфизм называется местная модель за Икс в Икс.

An аналитическое отображение или же морфизм аналитических пространств - это морфизм локально окольцованных пространств.

Это определение аналогично определению схема. Единственная разница в том, что для схемы локальные модели спектры колец, тогда как для аналитического пространства локальные модели являются аналитическими многообразиями. По этой причине основные теории аналитических пространств и схем очень похожи. Более того, аналитические многообразия ведут себя гораздо проще, чем произвольные коммутативные кольца (например, аналитические многообразия определены над полями и всегда конечномерны), поэтому аналитические пространства ведут себя очень похоже на схемы конечного типа над полем.

Основные результаты

Каждая точка аналитического пространства имеет локальное измерение. Размер в Икс находится путем выбора локальной модели в Икс и определение локальной размерности аналитического многообразия в точке, соответствующей Икс.

Каждая точка в аналитическом пространстве имеет касательное пространство. Если Икс это точка Икс и м_Икс идеальный пучок всех функций, исчезающих при Икс, то котангенс в точке Икс является м_Икс / м_Икс². Касательное пространство (м_Икс / м_Икс²)^*, двойственное векторное пространство к котангенсу. Аналитические отображения индуцируют прямые отображения на касательных пространствах и обратные отображения на кокасательных пространствах.

Размерность касательного пространства при Икс называется размер встраивания в Икс. Глядя на локальную модель, легко увидеть, что размер всегда меньше или равен размеру вложения.

Гладкость

Аналитическое пространство называется гладкий в Икс если у него есть локальная модель в Икс который является открытым подмножеством k^п для некоторых п. Аналитическое пространство называется гладким, если оно гладко в каждой точке, и в этом случае оно является гладким. аналитическое многообразие. Подмножество точек, в которых аналитическое пространство негладкое, является замкнутым аналитическим подмножеством.

Аналитическое пространство уменьшенный если каждая локальная модель пространства определяется радикальным пучком идеалов. Аналитическое пространство Икс который не сокращается, имеет снижение Икс_{красный}, сокращенное аналитическое пространство с тем же основным топологическим пространством. Есть канонический морфизм р : Икс_{красный} → Икс. Каждый морфизм из Икс к сокращенному аналитическому пространству факторов через р.

Аналитическое пространство нормальный если каждый стержень структурного пучка является нормальным кольцом (т.е. целозамкнутой областью целостности). В нормальном аналитическом пространстве сингулярное множество имеет коразмерность не менее двух. Когда Икс является локальным полным пересечением в точке Икс, тогда Икс нормально в Икс.

Ненормальные аналитические пространства могут быть сглажены до нормальных пространств каноническим способом. Эта конструкция называется нормализация. Нормализация N(Икс) аналитического пространства Икс поставляется с канонической картой ν: N(Икс) → Икс. Каждый доминирующий морфизм из нормального аналитического пространства в Икс факторы через ν.

Когерентные связки

Аналитическое пространство последовательный если его структура связка ${displaystyle {mathcal {O}}}$ это связный пучок. Связный пучок ${displaystyle {mathcal {O}}}$-модулей называется когерентный аналитический пучок. Например, в когерентном пространстве локально свободные пучки и пучки идеалов являются когерентными аналитическими пучками.

Аналитические пространства над алгебраически замкнутыми полями когерентны. В сложном случае это называется Окская теорема когерентности. Это неверно для неалгебраически замкнутых полей; есть примеры реальных аналитических пространств, которые не являются связными.

Обобщения

В некоторых ситуациях концепция аналитического пространства слишком ограничительна. Часто это происходит из-за того, что поле земли имеет дополнительную структуру, которая не фиксируется аналитическими наборами. В этих ситуациях существуют обобщения аналитических пространств, которые обеспечивают большую гибкость в локальных модельных пространствах.

Например, над действительными числами рассмотрим круг Икс² + у² = 1. Круг - это аналитическое подмножество аналитического пространства р². Но его проекция на Икс-axis - замкнутый интервал [−1, 1], который не является аналитическим множеством. Следовательно, образ аналитического множества при аналитическом отображении не обязательно является аналитическим множеством. Этого можно избежать, работая с субаналитические множества, которые намного менее жесткие, чем аналитические множества, но не определены над произвольными полями. Соответствующее обобщение аналитического пространства является субаналитическим пространством. (Однако при легкой точечная топология гипотез, оказывается, что субаналитические пространства по существу эквивалентны субаналитическим множествам.)

Смотрите также

• Аналитическое разнообразие
• Комплексное аналитическое пространство

Рекомендации

• Онищик, А. Л. (2001) [1994], «Аналитическое пространство», Энциклопедия математики, EMS Press