Андре самолет - André plane - Wikipedia

В математике Самолеты Андре являются классом конечных самолеты перевода найден Андре.^[1] В Дезарговский самолет и Плоскости холла примеры самолетов Андре; двумерный регулярный ближнее поле самолеты - это тоже самолеты Андре.

Строительство

Позволять ${\displaystyle F=GF(q)}$ быть конечным поле, и разреши ${\displaystyle K=GF(q^{n})}$ быть степень ${\displaystyle n}$ поле расширения из ${\displaystyle F}$. Позволять ${\displaystyle \Gamma }$ быть группой полевые автоморфизмы из ${\displaystyle K}$ над ${\displaystyle F}$, и разреши ${\displaystyle \beta }$ - произвольное отображение из ${\displaystyle F}$ к ${\displaystyle \Gamma }$ такой, что ${\displaystyle \beta (1)=1}$. Наконец, пусть ${\displaystyle N}$ быть норма функция от ${\displaystyle K}$ к ${\displaystyle F}$.

Определить квазиполе ${\displaystyle Q}$ с теми же элементами и сложением, что и K, но с умножением, определенным через ${\displaystyle a\circ b=a^{\beta (N(b))}\cdot b}$, куда ${\displaystyle \cdot }$ обозначает нормальное умножение поля в ${\displaystyle K}$. Использование этого квазиполя для построить самолет дает самолет Андре.^[2]

Характеристики

1. Самолеты Андре существуют для всех основных сил ${\displaystyle p^{n}}$ с ${\displaystyle p}$ премьер и ${\displaystyle n}$ положительное целое число больше единицы.
2. Недезарговские планы Андре существуют для всех собственных основных степеней, кроме ${\displaystyle 2^{n}}$ куда ${\displaystyle n}$ простое.

Небольшие примеры

Наименьшая недезарговская плоскость Андре имеет порядок 9 и изоморфна плоскости Плоскость холла этого порядка.

Все плоскости трансляции порядка 16 были классифицированы, и снова единственная недезарговская плоскость Андре - это Плоскость холла.^[3]

Есть три недезарговских самолета Андре 25-го порядка.^[4] Эти Плоскость холла, регулярный ближнее поле самолет, а третий самолет не может быть построен другими методами.^[5]

Есть единственный самолет André порядка 27.^[6]

Рекомендации

1. Андре, Йоханнес (1954), "Über nicht-Desarguessche Ebenen mit transitiver Translationsgruppe", Mathematische Zeitschrift, 60: 156–186, Дои:10.1007 / BF01187370, ISSN  0025-5874, МИСТЕР  0063056, S2CID  123661471
2. Вейбель, Чарльз (2007), "Обзор недезарговских самолетов", Уведомления AMS, 54 (10): 1294–1303
3. «Проективные плоскости порядка 16». ericmoorhouse.org. Получено 2020-11-08.
4. Чен, Г. (1994), "Полная классификация недезарговских плоскостей Андре порядка 25", Журнал Южно-Китайского педагогического университета, 3: 122–127
5. Довер, Джереми М. (27.02.2019). «Генеалогия плоскостей перевода порядка 25». arXiv:1902.07838 [math.CO ].
6. «Проективные плоскости порядка 27». ericmoorhouse.org. Получено 2020-11-08.