Углы между квартирами - Angles between flats

Концепция чего-либо углы между линии в самолет и между парами из двух линий, двух плоскостей или линии и плоскости в Космос можно обобщить на произвольные измерение. Это обобщение впервые было обсуждено Иордания.^[1] Для любой пары квартиры в Евклидово пространство произвольной размерности можно определить набор взаимных углов, которые инвариантный под изометрический преобразование евклидова пространства. Если квартиры не пересекаются, их кратчайшие расстояние еще один инвариант.^[1] Эти углы называются канонический^[2] или же главный.^[3] Понятие углов можно обобщить на пары квартир в конечномерном пространстве. внутреннее пространство продукта над сложные числа.

Определение Иордании

Позволять ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ быть квартирой размеров ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle l}$ в ${\displaystyle n}$-мерное евклидово пространство ${\displaystyle E^{n}}$. По определению перевод из ${\displaystyle F}$ или же ${\displaystyle G}$ не меняет их взаимных углов. Если ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ не пересекаются, они сделают это при любом переводе ${\displaystyle G}$ который отображает некоторую точку в ${\displaystyle G}$ в какой-то момент в ${\displaystyle F}$. Поэтому без ограничения общности можно предположить, что ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ пересекаются.

Иордания показывает, что Декартовы координаты ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{\rho },}$ ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{\sigma },}$ ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{\tau },}$ ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{\upsilon },}$ ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{\alpha },}$ ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{\alpha }}$ в ${\displaystyle E^{n}}$ тогда можно определить так, что ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ описываются соответственно системами уравнений

${\displaystyle x_{1}=0,\dots ,x_{\rho }=0,}$

${\displaystyle u_{1}=0,\dots ,u_{\upsilon }=0,}$

${\displaystyle v_{1}=0,\dots ,v_{\alpha }=0}$

и

${\displaystyle x_{1}=0,\dots ,x_{\rho }=0,}$

${\displaystyle z_{1}=0,\dots ,z_{\tau }=0,}$

${\displaystyle v_{1}\cos \theta _{1}+w_{1}\sin \theta _{1}=0,\dots ,v_{\alpha }\cos \theta _{\alpha }+w_{\alpha }\sin \theta _{\alpha }=0}$

с ${\displaystyle 0<\theta _{i}<\pi /2,i=1,\dots ,\alpha }$. Джордан называет эти координаты канонический. По определению углы ${\displaystyle \theta _{i}}$ являются углы между ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$.

Неотрицательные целые числа ${\displaystyle \rho ,\sigma ,\tau ,\upsilon ,\alpha }$ сдерживаются

${\displaystyle \rho +\sigma +\tau +\upsilon +2\alpha =n,}$

${\displaystyle \sigma +\tau +\alpha =k,}$

${\displaystyle \sigma +\upsilon +\alpha =\ell .}$

Чтобы эти уравнения полностью определяли пять неотрицательных целых чисел, помимо размеров ${\displaystyle n,k}$ и ${\displaystyle \ell }$ и число ${\displaystyle \alpha }$ углов ${\displaystyle \theta _{i}}$, неотрицательное целое число ${\displaystyle \sigma }$ должно быть дано. Это количество координат ${\displaystyle y_{i}}$, чьи соответствующие оси полностью лежат внутри обеих ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$. Целое число ${\displaystyle \sigma }$ таким образом, размер ${\displaystyle F\cap G}$. Набор углов ${\displaystyle \theta _{i}}$ может быть дополнен ${\displaystyle \sigma }$ углы ${\displaystyle 0}$ чтобы указать, что ${\displaystyle F\cap G}$ имеет это измерение.

Доказательство Джордана применяется по существу без изменений, когда ${\displaystyle E^{n}}$ заменяется на ${\displaystyle n}$-размерное внутреннее пространство продукта ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ над комплексными числами. (За углы между подпространствами, обобщение на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ обсуждается Галантаи и Хегедес в терминах нижеприведенного вариационная характеристика.^[4])^[1]

Углы между подпространствами

Теперь позвольте ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ быть подпространства из ${\displaystyle n}$-размерное внутреннее пространство продукта над настоящий или комплексные числа. Геометрически, ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ плоские, поэтому применимо определение взаимных углов, данное Джорданом. Когда для любой канонической координаты ${\displaystyle \xi }$ символ ${\displaystyle {\hat {\xi }}}$ обозначает единичный вектор из ${\displaystyle \xi }$ оси, векторы ${\displaystyle {\hat {y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma },}$ ${\displaystyle {\hat {w}}_{1},\dots ,{\hat {w}}_{\alpha },}$ ${\displaystyle {\hat {z}}_{1},\dots ,{\hat {z}}_{\tau }}$ для мужчин ортонормированный основа за ${\displaystyle F}$ и векторы ${\displaystyle {\hat {y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma },}$ ${\displaystyle {\hat {w}}'_{1},\dots ,{\hat {w}}'_{\alpha },}$ ${\displaystyle {\hat {u}}_{1},\dots ,{\hat {u}}_{\upsilon }}$ образуют ортонормированный базис для ${\displaystyle G}$, куда

${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}={\hat {w}}_{i}\cos \theta _{i}+{\hat {v}}_{i}\sin \theta _{i},\quad i=1,\dots ,\alpha .}$

Эти базовые векторы, связанные с каноническими координатами, можно назвать канонический.

Когда ${\displaystyle a_{i},i=1,\dots ,k}$ обозначим канонические базисные векторы для ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle b_{i},i=1,\dots ,l}$ канонические базисные векторы для ${\displaystyle G}$ затем внутренний продукт ${\displaystyle \langle a_{i},b_{j}\rangle }$ исчезает для любой пары ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ кроме следующих.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle {\hat {y}}_{i},{\hat {y}}_{i}\rangle =1,&&i=1,\dots ,\sigma ,\\&\langle {\hat {w}}_{i},{\hat {w}}'_{i}\rangle =\cos \theta _{i},&&i=1,\dots ,\alpha .\end{aligned}}}$

При указанном выше порядке основных векторов матрица внутренних продуктов ${\displaystyle \langle a_{i},b_{j}\rangle }$ таким образом диагональ. Другими словами, если ${\displaystyle (a'_{i},i=1,\dots ,k)}$ и ${\displaystyle (b'_{i},i=1,\dots ,\ell )}$ - произвольные ортонормированные базисы в ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ затем реальный, ортогональный или же унитарный трансформации из основы ${\displaystyle (a'_{i})}$ к основе ${\displaystyle (a_{i})}$ и из основы ${\displaystyle (b'_{i})}$ к основе ${\displaystyle (b_{i})}$ реализовать разложение по сингулярным числам матрицы внутренних продуктов ${\displaystyle \langle a'_{i},b'_{j}\rangle }$. Диагональные матричные элементы ${\displaystyle \langle a_{i},b_{i}\rangle }$ - сингулярные значения последней матрицы. В силу единственности разложения по сингулярным числам векторы ${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}$ тогда уникальны с точностью до действительного, ортогонального или унитарного преобразования между ними, а векторы ${\displaystyle {\hat {w}}_{i}}$ и ${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}}$ (и поэтому ${\displaystyle {\hat {v}}_{i}}$) уникальны с точностью до равных действительных, ортогональных или унитарных преобразований, применяемых одновременно к множествам векторов ${\displaystyle {\hat {w}}_{i}}$ связаны с общей ценностью ${\displaystyle \theta _{i}}$ и соответствующим наборам векторов ${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}}$ (и, следовательно, к соответствующим наборам ${\displaystyle {\hat {v}}_{i}}$).

Особое значение ${\displaystyle 1}$ можно интерпретировать как ${\displaystyle \cos \,0}$ соответствующие углам ${\displaystyle 0}$ введены выше и связаны с ${\displaystyle F\cap G}$ и сингулярное значение ${\displaystyle 0}$ можно интерпретировать как ${\displaystyle \cos \pi /2}$ соответствующие прямым углам между ортогональный пробелы ${\displaystyle F\cap G^{\bot }}$ и ${\displaystyle F^{\bot }\cap G}$, где верхний индекс ${\displaystyle \bot }$ обозначает ортогональное дополнение.

Вариационная характеристика

В вариационная характеристика сингулярных значений и векторов подразумевает как частный случай вариационную характеризацию углов между подпространствами и связанными с ними каноническими векторами. Эта характеристика включает углы ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle \pi /2}$ введенный выше, и упорядочивает углы, увеличивая значение. Ему можно придать форму альтернативного определения, приведенного ниже. В этом контексте принято говорить о главный углы и векторы.^[3]

Определение

Позволять ${\displaystyle V}$ быть внутренним пространством продукта. Учитывая два подпространства ${\displaystyle {\mathcal {U}},{\mathcal {W}}}$ с ${\displaystyle \dim({\mathcal {U}})=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=\ell }$, тогда существует последовательность ${\displaystyle k}$ углы ${\displaystyle 0\leq \theta _{1}\leq \theta _{2}\leq \cdots \leq \theta _{k}\leq \pi /2}$ называемые главными углами, первый из которых определяется как

${\displaystyle \theta _{1}:=\min \left\{\arccos \left(\left.{\frac {|\langle u,w\rangle |}{\|u\|\|w\|}}\right)\,\right|\,u\in {\mathcal {U}},w\in {\mathcal {W}}\right\}=\angle (u_{1},w_{1}),}$

куда ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ это внутренний продукт и ${\displaystyle \|\cdot \|}$ индуцированный норма. Векторы ${\displaystyle u_{1}}$ и ${\displaystyle w_{1}}$ соответствующие главные векторы.

Другие главные углы и векторы затем определяются рекурсивно через

${\displaystyle \theta _{i}:=\min \left\{\left.\arccos \left({\frac {|\langle u,w\rangle |}{\|u\|\|w\|}}\right)\,\right|\,u\in {\mathcal {U}},~w\in {\mathcal {W}},~u\perp u_{j},~w\perp w_{j}\quad \forall j\in \{1,\ldots ,i-1\}\right\}.}$

Это означает, что главные углы ${\displaystyle (\theta _{1},\ldots ,\theta _{k})}$ образуют набор минимизированных углов между двумя подпространствами, и главные векторы в каждом подпространстве ортогональны друг другу.

Примеры

Геометрический пример

Геометрически подпространства квартиры (точки, линии, плоскости и т. д.), которые включают начало координат, поэтому любые два подпространства пересекаются по крайней мере в начале координат. Два двумерных подпространства ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ создать набор из двух углов. В трехмерном Евклидово пространство, подпространства ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ либо идентичны, либо их пересечение образует линию. В первом случае оба ${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}=0}$. В последнем случае только ${\displaystyle \theta _{1}=0}$, где векторы ${\displaystyle u_{1}}$ и ${\displaystyle w_{1}}$ находятся на линии пересечения ${\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}}$ и имеют то же направление. Угол ${\displaystyle \theta _{2}>0}$ будет угол между подпространствами ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ в ортогональное дополнение к ${\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}}$. Представляя угол между двумя плоскостями в 3D, можно интуитивно представить себе наибольший угол, ${\displaystyle \theta _{2}>0}$.

Алгебраический пример

В 4-мерном реальном координатном пространстве р⁴, пусть двумерное подпространство ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ быть охваченным ${\displaystyle u_{1}=(1,0,0,0)}$ и ${\displaystyle u_{2}=(0,1,0,0)}$, и пусть двумерное подпространство ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ быть охваченным ${\displaystyle w_{1}=(1,0,0,a)/{\sqrt {1+a^{2}}}}$ и ${\displaystyle w_{2}=(0,1,b,0)/{\sqrt {1+b^{2}}}}$ с некоторыми настоящими ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ такой, что ${\displaystyle |a|<|b|}$. потом ${\displaystyle u_{1}}$ и ${\displaystyle w_{1}}$ фактически являются парой главных векторов, соответствующих углу ${\displaystyle \theta _{1}}$ с ${\displaystyle \cos(\theta _{1})=1/{\sqrt {1+a^{2}}}}$, и ${\displaystyle u_{2}}$ и ${\displaystyle w_{2}}$ - главные векторы, соответствующие углу ${\displaystyle \theta _{2}}$ с ${\displaystyle \cos(\theta _{2})=1/{\sqrt {1+b^{2}}}.}$

Чтобы построить пару подпространств с любым заданным набором ${\displaystyle k}$ углы ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{k}}$ в ${\displaystyle 2k}$ (или больше) размерный Евклидово пространство возьмем подпространство ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ с ортонормированным базисом ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{k})}$ и дополним его до ортонормированного базиса ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ евклидова пространства, где ${\displaystyle n\geq 2k}$. Тогда ортонормированный базис другого подпространства ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ является, например,

${\displaystyle (\cos(\theta _{1})e_{1}+\sin(\theta _{1})e_{k+1},\ldots ,\cos(\theta _{k})e_{k}+\sin(\theta _{k})e_{2k}).}$

Основные свойства

• Если наибольший угол равен нулю, одно подпространство является подмножеством другого.
• Если наибольший угол ${\displaystyle \pi /2}$, есть хотя бы один вектор в одном подпространстве, перпендикулярном другому подпространству.
• Если наименьший угол равен нулю, подпространства пересекаются, по крайней мере, по прямой.
• Если наименьший угол ${\displaystyle \pi /2}$, подпространства ортогональны.
• Число углов, равное нулю, - это размерность пространства, в котором пересекаются два подпространства.

Дополнительные свойства

• Нетривиальный (отличный от ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle \pi /2}$ ^[5]) углы между двумя подпространствами такие же, как нетривиальные углы между их ортогональными дополнениями.^[6][7]
• Нетривиальные углы между подпространствами ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ и соответствующие нетривиальные углы между подпространствами ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {W}}^{\perp }}$ суммировать ${\displaystyle \pi /2}$.^[6][7]
• Углы между подпространствами удовлетворяют условию неравенство треугольника с точки зрения мажоризация и, таким образом, может использоваться для определения расстояние на множестве всех подпространств, превращающих множество в метрическое пространство.^[8]
• В синус углов между подпространствами удовлетворяют неравенство треугольника с точки зрения мажоризация и, таким образом, может использоваться для определения расстояние на множестве всех подпространств, превращающих множество в метрическое пространство.^[6] Например, синус наибольшего угла известен как разрыв между подпространствами.^[9]

Расширения

Понятие углов и некоторых вариационных свойств естественным образом распространяется на произвольные внутренние продукты^[10] и подпространства с бесконечным размеры.^[7]

Вычисление

Исторически главные углы и векторы сначала появляются в контексте каноническая корреляция и были первоначально рассчитанный с помощью СВД соответствующих ковариация матрицы. Однако, как впервые было замечено в^[3] то каноническая корреляция относится к косинус главных углов, что составляет плохо воспитанный для малых углов, что приводит к очень неточному вычислению сильно коррелированных главных векторов в конечных точность компьютерная арифметика. В синус алгоритм на основе^[3] устраняет эту проблему, но создает новую проблему очень неточного вычисления сильно некоррелированных главных векторов, поскольку синус функция плохо воспитанный для углов, близких к π/2. Для получения точных главных векторов в компьютерная арифметика для полного диапазона главных углов комбинированная техника^[10] сначала вычислите все главные углы и векторы, используя классический косинус -основанный подход, а затем пересчитывает главные углы, меньшие, чем π/4 и соответствующие главные векторы с использованием синус основанный на подходе.^[3] Комбинированная техника^[10] реализуется в Открытый исходный код библиотеки Октава^[11] и SciPy^[12] и внес ^[13] и ^[14] к MATLAB.

Смотрите также

• Разложение по сингулярным числам
• Каноническая корреляция

Рекомендации

1. Джордан, К. (1875). "Essai sur la géométrie à ${\displaystyle n}$ размеры". Бык. Soc. Математика. Франция. 3: 103.
2. Африат, С. Н. (1957). «Ортогональные и наклонные проекторы и характеризация пар векторных пространств». Математика. Proc. Cambridge Philos. Soc. 53 (4): 800. Дои:10.1017 / S0305004100032916.
3. Björck, Å .; Голуб, Г.Х. (1973). «Численные методы вычисления углов между линейными подпространствами». Математика. Comp. 27 (123): 579. Дои:10.2307/2005662. JSTOR  2005662.
4. Galántai, A .; Hegedũs, Cs. J. (2006). «Главные углы Жордана в комплексных векторных пространствах». Нумер. Приложение линейной алгебры. 13 (7): 589–598. CiteSeerX  10.1.1.329.7525. Дои:10.1002 / nla.491.
5. Халмос, П.Р. (1969), "Два подпространства", Пер. Амер. Математика. Soc., 144: 381–389, Дои:10.1090 / S0002-9947-1969-0251519-5
6. Князев, А.В .; Аргентати, M.E. (2006), "Мажоризация для изменений углов между подпространствами, значений Ритца и графиков лапласовских спектров", SIAM J. Matrix Anal. Appl., 29 (1): 15–32, CiteSeerX  10.1.1.331.9770, Дои:10.1137/060649070
7. Князев, А.В .; Джужунашвили, А .; Аргентати, М.Е. (2010), "Углы между бесконечномерными подпространствами с приложениями к методам Рэлея – Ритца и переменных проекторов", Журнал функционального анализа, 259 (6): 1323–1345, arXiv:0705.1023, Дои:10.1016 / j.jfa.2010.05.018
8. Qiu, L .; Zhang, Y .; Лизать. (2005), «Унитарно-инвариантные метрики на пространстве Грассмана» (PDF), Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям, 27 (2): 507–531, Дои:10.1137/040607605
9. Като, Д.Т. (1996), Теория возмущений для линейных операторов., Спрингер, Нью-Йорк
10. Князев, А.В .; Аргентати, M.E. (2002), "Главные углы между подпространствами в скалярном произведении на основе A: алгоритмы и оценки возмущений", Журнал SIAM по научным вычислениям, 23 (6): 2009–2041, CiteSeerX  10.1.1.73.2914, Дои:10.1137 / S1064827500377332
11. Подпространство октавной функции
12. Функция линейной алгебры SciPy subspace_angles
13. Подпространство функции MATLAB FileExchange
14. Подпространство функции MATLAB FileExchange