Аннуитет - Annuity

Для использования в других целях см. Аннуитет (значения).

An рента представляет собой серию платежей, производимых через равные промежутки времени.^[1] Примерами аннуитетов являются регулярные вклады в Сберегательный счет, ежемесячно ипотека выплаты, ежемесячно страхование платежи и пенсия платежи. Аннуитеты можно классифицировать по частоте дат выплаты. Выплаты (депозиты) могут производиться еженедельно, ежемесячно, ежеквартально, ежегодно или в любой другой регулярный интервал времени.

Аннуитет, который предусматривает выплаты за оставшуюся часть жизни человека, является пожизненная рента.

Типы

Аннуитеты можно классифицировать по-разному.

Сроки выплат

Выплаты рента-немедленная производятся в конце платежных периодов, так что проценты начисляются между выпуском аннуитета и первым платежом. Выплаты ежегодный взнос производятся в начале платежных периодов, поэтому оплата производится немедленно эмитенту.

Непредвиденные выплаты

Аннуитеты, предусматривающие выплаты, которые будут выплачиваться в течение заранее известного периода: аннуитеты определенные или же гарантированные аннуитеты. Аннуитеты выплачиваются только при определенных обстоятельствах. условные ренты. Типичным примером является пожизненная рента, который выплачивается в течение оставшегося срока действия ренты. Определенные и пожизненные ренты гарантированно выплачиваются в течение нескольких лет, а затем становятся зависимыми от жизни получателя ренты.

Вариативность выплат

• Фиксированные аннуитеты - Это аннуитеты с фиксированными выплатами. Если это предусмотрено страховой компанией, компания гарантирует фиксированный доход от первоначальных инвестиций. Фиксированные аннуитеты не регулируются Комиссия по ценным бумагам и биржам.
• Переменные аннуитеты - Зарегистрированные продукты, которые регулируются SEC в Соединенных Штатах Америки. Они позволяют напрямую инвестировать в различные фонды, специально созданные для переменных аннуитетов. Как правило, страховая компания гарантирует определенное пособие в случае смерти или пожизненное пособие при выходе из программы.
• Аннуитеты, индексируемые по акциям - Аннуитеты с выплатами, привязанными к индексу. Как правило, минимальный платеж составляет 0%, а максимальный будет определен заранее. Эффективность индекса определяет, будет ли клиенту начислен минимум, максимум или что-то среднее.

Отсрочка платежей

Аннуитет, который начинает выплаты только по истечении периода, отсроченный аннуитет. Аннуитет, с которого начинаются выплаты без периода отсрочки, является немедленная рента.

Оценка

Оценка аннуитета влечет за собой расчет приведенная стоимость будущих аннуитетных выплат. Оценка аннуитета включает в себя такие концепции, как временная стоимость денег, процентная ставка, и будущая стоимость.^[2]

Аннуитетный

Если количество выплат известно заранее, аннуитет является аннуитет гарантированный или же гарантированный аннуитет. Оценка аннуитетов может быть рассчитана по формулам в зависимости от сроков выплат.

Аннуитет-немедленный

Если выплаты производятся в конце периодов времени, так что проценты накапливаются до выплаты, аннуитет называется рента-немедленная, или же обычная рента. Выплаты по ипотеке производятся немедленно, проценты начисляются до выплаты.

	↓	↓	...	↓	выплаты
———	———	———	———	—
0	1	2	...	п	периоды

В приведенная стоимость аннуитета - это стоимость потока платежей, дисконтированная с учетом процентной ставки, чтобы учесть тот факт, что платежи производятся в различные моменты в будущем. Приведенная стоимость указана в актуарная запись к:

${\displaystyle a_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}}.}$

Где ${\displaystyle n}$ количество терминов и ${\displaystyle i}$ процентная ставка за период. Приведенная стоимость линейна в зависимости от суммы платежей, поэтому приведенная стоимость платежей или аренда ${\displaystyle R}$ является:

${\displaystyle {\text{PV}}(i,n,R)=R\times a_{{\overline {n}}|i}.}$

На практике часто ссуды указываются на год, в то время как проценты начисляются, а выплаты производятся ежемесячно. В этом случае интерес ${\displaystyle I}$ заявлено как номинальная процентная ставка, и ${\displaystyle i={\frac {I}{12}}}$.

В будущая стоимость аннуитета - это накопленная сумма, включая выплаты и проценты, потока платежей, сделанных на процентный счет. Для немедленной аннуитета это значение сразу после n-го платежа. Будущая стоимость определяется как:

${\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}.}$

Где ${\displaystyle n}$ количество терминов и ${\displaystyle i}$ процентная ставка за период. Будущая стоимость линейна в зависимости от суммы платежей, следовательно, будущая стоимость платежей или аренда ${\displaystyle R}$ является:

${\displaystyle {\text{FV}}(i,n,R)=R\times s_{{\overline {n}}|i}}$

Пример: Приведенная стоимость 5-летнего аннуитета с номинальной годовой процентной ставкой 12% и ежемесячными выплатами в размере 100 долларов США составляет:

${\displaystyle {\text{PV}}\left({\frac {0.12}{12}},5\times 12,\$100\right)=\$100\times a_{{\overline {60}}|0.01}=\$4,495.50}$

Под арендной платой понимается либо сумма, выплачиваемая в конце каждого периода взамен суммы PV, взятой в долг в нулевой момент времени, либо главный ссуды, или сумма, выплачиваемая с процентного счета в конце каждого периода, когда сумма PV инвестируется в нулевой момент времени, и счет становится нулевым при n-м снятии средств.

Будущие и настоящие ценности связаны, поскольку:

${\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}=(1+i)^{n}\times a_{{\overline {n}}|i}}$

и

${\displaystyle {\frac {1}{a_{{\overline {n}}|i}}}-{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|i}}}=i}$

Доказательство формулы немедленного аннуитета

Чтобы рассчитать приведенную стоимость, k-й платеж необходимо дисконтировать до настоящего времени путем деления на проценты, составленные на k членов. Следовательно, вклад k-го платежа R будет ${\displaystyle {\frac {R}{(1+i)^{k}}}}$. Просто считая R одним, тогда:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{{\overline {n}}|i}&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1+i)^{k}}}={\frac {1}{1+i}}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{k}\\&={\frac {1}{1+i}}\left({\frac {1-(1+i)^{-n}}{1-(1+i)^{-1}}}\right)\quad \quad {\text{By using the equation for the sum of a geometric series}}\\&={\frac {1-(1+i)^{-n}}{1+i-1}}\\&={\frac {1-\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{n}}{i}}.\end{aligned}}}$

Что дает нам требуемый результат.

Аналогичным образом мы можем доказать формулу будущей стоимости. Платеж, произведенный в конце прошлого года, не будет накапливать процентов, а платеж, произведенный в конце первого года, будет включать проценты на общую сумму (п−1) лет. Следовательно,

${\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}=1+(1+i)+(1+i)^{2}+\cdots +(1+i)^{n-1}=(1+i)^{n}a_{{\overline {n}}|i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}.}$

Ежегодный взнос

An ежегодный взнос представляет собой аннуитет, выплаты по которому производятся в начале каждого периода.^[3] Депозиты в виде сбережений, арендных платежей или арендных платежей, а также страховых взносов являются примерами подлежащих уплате аннуитетов.

↓	↓	...	↓		выплаты
———	———	———	———	—
0	1	...	п-1	п	периоды

Каждый аннуитетный платеж может увеличиваться на один дополнительный период. Таким образом, можно рассчитать текущую и будущую стоимость аннуитета.

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=(1+i)\times a_{{\overline {n|}}i}={\frac {1-\left(1+i\right)^{-n}}{d}}.}$

${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}=(1+i)\times s_{{\overline {n|}}i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{d}}.}$

куда ${\displaystyle n}$ это количество терминов, ${\displaystyle i}$ - процентная ставка за конечный период, и ${\displaystyle d}$ это эффективная ставка дисконтирования данный ${\displaystyle d={\frac {i}{i+1}}}$.

Будущая и настоящая стоимость причитающихся аннуитетов связаны, поскольку:

${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}=(1+i)^{n}\times {\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i},}$

${\displaystyle {\frac {1}{{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}}}-{\frac {1}{{\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}}}=d.}$

Пример: Окончательная стоимость семилетнего аннуитета с номинальной годовой процентной ставкой 9% и ежемесячными выплатами 100 долларов может быть рассчитана следующим образом:

${\displaystyle {\text{FV}}_{\text{due}}\left({\frac {0.09}{12}},7\times 12,\$100\right)=\$100\times {\ddot {s}}_{{\overline {84}}|0.0075}=\$11,730.01.}$

Обратите внимание, что в Excel функции PV и FV принимают необязательный пятый аргумент, который выбирает немедленную аннуитетную или аннуитетную выплату.

Аннуитетный платеж с n платежами - это сумма одного ежегодного платежа сейчас и обычного аннуитета с одним платежом меньше, а также равна, со сдвигом во времени, обычному аннуитету. Таким образом, мы имеем:

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=a_{{\overline {n}}|i}(1+i)=a_{{\overline {n-1|}}i}+1}$. Стоимость на момент первого из п выплаты 1.

${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}=s_{{\overline {n}}|i}(1+i)=s_{{\overline {n+1|}}i}-1}$. Значение через один период после времени последнего из п выплаты 1.

Бессрочность

А вечность аннуитет, выплаты по которому продолжаются вечно. Заметьте, что

${\displaystyle \lim _{n\,\rightarrow \,\infty }{\text{PV}}(i,n,R)=\lim _{n\,\rightarrow \,\infty }R\times a_{{\overline {n}}|i}=\lim _{n\,\rightarrow \,\infty }R\times {\frac {1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}}=\,{\frac {R}{i}}.}$

Поэтому вечность имеет конечную приведенную стоимость при ненулевой ставке дисконтирования. Формулы бессрочного существования:

${\displaystyle a_{{\overline {\infty }}|i}={\frac {1}{i}}{\text{ and }}{\ddot {a}}_{{\overline {\infty }}|i}={\frac {1}{d}}.}$

Где ${\displaystyle i}$ это процентная ставка и ${\displaystyle d={\frac {i}{1+i}}}$ - эффективная ставка дисконтирования.

Пожизненная рента

Оценка пожизненная рента может быть выполнено путем расчета актуарная приведенная стоимость условных выплат будущей жизни. Таблицы дожития используются для расчета вероятность что получатель ренты доживает до каждого будущего периода выплаты. Оценка пожизненных аннуитетов также зависит от сроков выплат, как и в случае определенных аннуитетов, однако пожизненные аннуитеты могут не рассчитываться с использованием аналогичных формул, поскольку актуарная приведенная стоимость учитывает вероятность смерти в каждом возрасте.

Расчет амортизации

Если аннуитет предназначен для погашения долга п с процентами, сумма задолженности после п платежи

${\displaystyle {\frac {R}{i}}-\left(1+i\right)^{n}\left({\frac {R}{i}}-P\right).}$

Поскольку схема эквивалентна заимствованию на сумму ${\displaystyle {\frac {R}{i}}}$ создать бессрочный купон ${\displaystyle R}$, и положив ${\displaystyle {\frac {R}{i}}-P}$ от этой заемной суммы в банке расти с процентами ${\displaystyle i}$.

Кроме того, это можно рассматривать как приведенную стоимость оставшихся платежей.

${\displaystyle R\left[{\frac {1}{i}}-{\frac {(i+1)^{n-N}}{i}}\right]=R\times a_{{\overline {N-n}}|i}.}$

Смотрите также ипотека с фиксированной ставкой.

Примеры расчетов

Формула для определения периодического платежа (R) для данного A:

R = A / (1 + 〖(1- (1 + ((j / m))〗 ^ (- (n-1)) / (j / m))

Примеры:

1. Найдите периодическую выплату аннуитета в размере 70 000 долларов США, выплачиваемую ежегодно в течение 3 лет по ставке 15% годовых.
   • R = 70,000 / (1 + 〖(1- (1 + ((. 15) / 1))〗 ^ (- (3-1)) / ((. 15) / 1))
   • R = 70,000 / 2,625708885
   • R = 26659,46724 доллара США

Найдите коэффициент PVOA как 1) найдите r как, (1 ÷ 1,15) = 0,86956521742) найдите rx (r ^ (n) -1) ÷ (r-1) 08695652174 x (- 0,3424837676) ÷ (-1304347826) = 2,283225117570000 ÷ 2.2832251175 = 30658.3873 - правильное значение

1. Найдите периодическую выплату аннуитета в размере 250 700 долларов США, выплачиваемую ежеквартально в течение 8 лет с 5% -ным усложнением ежеквартально.
   • R = 250,700 / (1 + 〖(1- (1 + ((. 05) / 4))〗 ^ (- (32-1)) / ((. 05) / 4))
   • R = 250,700 / 26,5692901
   • R = 9 435,71 долл. США

Нахождение периодического платежа (R), учитывая S:

R = S , / ((〖((1+ (j / m)) ^ (n + 1) -1) / (j / m) -1)

Примеры:

1. Найдите периодическую выплату накопленной стоимости в 55 000 долларов США, выплачиваемую ежемесячно в течение 3 лет по ставке 15% ежемесячно.
   • R = 55,000 / ((〖((1 + ((. 15) / 12))〗 ^ (36 + 1) -1) / ((. 15) / 12) -1)
   • R = 55 000 / 45,67944932
   • R = 1 204,04 доллара США
2. Найдите периодический платеж в размере 1 600 000 долларов США, выплачиваемый ежегодно в течение 3 лет под 9% годовых.
   • R = 1,600,000 / ((〖((1 + ((. 09) / 1))〗 ^ (3 + 1) -1) / ((. 09) / 1) -1)
   • R = 1,600,000 / 3,573129
   • R = 447 786,80 долл. США

Правовые режимы

• Аннуитеты по американскому законодательству
• Аннуитеты по европейскому праву
• Аннуитеты по швейцарскому законодательству

Смотрите также

• Калькулятор амортизации
• Ипотека с фиксированной ставкой
• Пожизненная рента
• Бессрочность
• Стоимость денег во времени

Рекомендации

1. Келлисон, Стивен Г. (1970). Теория интереса. Хоумвуд, Иллинойс: Ричард Д. Ирвин, Инк. Стр. 45
2. Лашер, Уильям (2008). Практический финансовый менеджмент. Мейсон, Огайо: Юго-Западный Томсон. п. 230. ISBN  0-324-42262-8..
3. Jordan, Bradford D .; Росс, Стивен Дэвид; Вестерфилд, Рэндольф (2000). Основы корпоративных финансов. Бостон: Ирвин / Макгроу-Хилл. п.175. ISBN  0-07-231289-0.

• Сэмюэл А. Броверман (2010). Математика инвестиций и кредита, 5-е издание. Академическая серия ACTEX. Публикации ACTEX. ISBN  978-1-56698-767-7.
• Стивен Келлисон (2008). Теория интереса, 3-е издание. МакГроу-Хилл / Ирвин. ISBN  978-0-07-338244-9.