Теорема площади (конформное отображение) - Area theorem (conformal mapping)

в математический теория конформные отображения, то теорема площадидает неравенство удовлетворен степенной ряд коэффициенты некоторых конформных отображений. Теорема названа так не из-за ее импликации, а потому, что в доказательстве используется понятие площадь.

Заявление

Предположим, что ${displaystyle f}$ является аналитический и инъективный в проколотомоткрыто единичный диск${displaystyle mathbb {D} setminus {0}}$ и имеет представление степенного ряда

${displaystyle f(z)={frac {1}{z}}+sum _{n=0}^{infty }a_{n}z^{n},qquad zin mathbb {D} setminus {0},}$

тогда коэффициенты ${displaystyle a_{n}}$ удовлетворить

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }n|a_{n}|^{2}leq 1.}$

Доказательство

Идея доказательства состоит в том, чтобы посмотреть на область, не покрытую изображением ${displaystyle f}$. Определите для ${displaystyle rin (0,1)}$

${displaystyle gamma _{r}( heta ):=f(r,e^{-i heta }),qquad heta in [0,2pi ].}$

потом ${displaystyle gamma _{r}}$ - простая замкнутая кривая на плоскости. ${displaystyle D_{r}}$ обозначим единственную ограниченную компоненту связности${displaystyle mathbb {C} setminus gamma [0,2pi ]}$. Существование и уникальность ${displaystyle D_{r}}$ следует из Теорема Жордана о кривой.

Если ${displaystyle D}$ - область на плоскости, граница которой гладкий простая замкнутая кривая ${displaystyle gamma }$,тогда

${displaystyle mathrm {area} (D)=int _{gamma }x,dy=-int _{gamma }y,dx,,}$

при условии, что ${displaystyle gamma }$ положительно ориентированный вокруг ${displaystyle D}$Это легко следует, например, из Теорема Грина.Как мы скоро увидим, ${displaystyle gamma _{r}}$ положительно ориентирован на${displaystyle D_{r}}$ (и это причина знака минус в определении ${displaystyle gamma _{r}}$). После применения Правило цепи и формула для ${displaystyle gamma _{r}}$, приведенные выше выражения для площади дают

${displaystyle mathrm {area} (D_{r})=int _{0}^{2pi }Re {igl (}f(re^{-i heta }){igr )},Im {igl (}-i,r,e^{-i heta },f'(re^{-i heta }){igr )},d heta =-int _{0}^{2pi }Im {igl (}f(re^{-i heta }){igr )},Re {igl (}-i,r,e^{-i heta },f'(re^{-i heta }){igr )}d heta .}$

Следовательно, площадь ${displaystyle D_{r}}$ также равно среднему значению двух выражений в правой части. После упрощения это дает

${displaystyle mathrm {area} (D_{r})=-{frac {1}{2}},Re int _{0}^{2pi }f(r,e^{-i heta }),{overline {r,e^{-i heta },f'(r,e^{-i heta })}},d heta ,}$

куда ${displaystyle {overline {z}}}$ обозначает комплексное сопряжение. Мы установили ${displaystyle a_{-1}=1}$ и используйте расширение серии мощности для ${displaystyle f}$, получить

${displaystyle mathrm {area} (D_{r})=-{frac {1}{2}},Re int _{0}^{2pi }sum _{n=-1}^{infty }sum _{m=-1}^{infty }m,r^{n+m},a_{n},{overline {a_{m}}},e^{i,(m-n), heta },d heta ,.}$

(С ${displaystyle int _{0}^{2pi }sum _{n=-1}^{infty }sum _{m=-1}^{infty }m,r^{n+m},|a_{n}|,|a_{m}|,d heta <infty ,,}$ перестановка членов оправдана.) Теперь заметьте, что ${displaystyle int _{0}^{2pi }e^{i,(m-n), heta },d heta }$ является ${displaystyle 2pi }$ если ${displaystyle n=m}$и равен нулю в противном случае. Следовательно, получаем

${displaystyle mathrm {area} (D_{r})=-pi sum _{n=-1}^{infty }n,r^{2n},|a_{n}|^{2}.}$

Площадь ${displaystyle D_{r}}$ явно положительный. Следовательно, правая часть положительна. С ${displaystyle a_{-1}=1}$, позволяя ${displaystyle r o 1}$, теперь следует теорема.

Остается только обосновать утверждение, что ${displaystyle gamma _{r}}$ положительно ориентирован ${displaystyle D_{r}}$. Позволять ${displaystyle r'}$ удовлетворить ${displaystyle r<r'<1}$, и установите${displaystyle z_{0}=f(r')}$, сказать. Для очень маленьких ${displaystyle s>0}$, мы можем написать выражение для номер намотки из ${displaystyle gamma _{s}}$ вокруг ${displaystyle z_{0}}$, и убедитесь, что он равен ${displaystyle 1}$. С, ${displaystyle gamma _{t}}$ не проходит ${displaystyle z_{0}}$ когда ${displaystyle teq r'}$(в качестве ${displaystyle f}$ инъективно), инвариантность числа витков относительно гомотопии в дополнении к ${displaystyle z_{0}}$означает, что количество витков${displaystyle gamma _{r}}$ вокруг ${displaystyle z_{0}}$ это также ${displaystyle 1}$. Отсюда следует, что ${displaystyle z_{0}in D_{r}}$ и это ${displaystyle gamma _{r}}$положительно ориентирован на ${displaystyle D_{r}}$, как требуется.

Использует

Неравенства, которым удовлетворяют коэффициенты степенных рядов конформных отображений, представляли значительный интерес для математиков до решения Гипотеза Бибербаха. Теорема площади является центральным инструментом в этом контексте. Более того, теорема площади часто используется для доказательства Теорема Кебе 1/4, что очень полезно при изучении геометрии конформных отображений.

Рекомендации

• Рудин, Вальтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co., ISBN  978-0-07-054234-1, МИСТЕР  0924157, OCLC  13093736