Площадь Аренса - Arens square

В математика, то Площадь Аренса это топологическое пространство.

Определение

Квадрат Аренса - топологическое пространство ${\displaystyle (X,\tau )}$ куда

${\displaystyle X=((0,1)^{2}\cap \mathbb {Q} ^{2})\cup \{(0,0)\}\cup \{(1,0)\}\cup \{(1/2,r{\sqrt {2}})|\ r\in \mathbb {Q} ,\ 0<r{\sqrt {2}}<1\}}$

Топология ${\displaystyle \tau }$ определяется из следующего основа. Каждая точка ${\displaystyle (0,1)^{2}\cap \mathbb {Q} ^{2}}$ дается местная основа относительно открытых множеств, унаследованных от Евклидова топология на ${\displaystyle (0,1)^{2}}$. Остальные пункты ${\displaystyle X}$ даны местные базы

• ${\displaystyle U_{n}(0,0)=\{(0,0)\}\cup \{(x,y)|\ 0<x<1/4,\ 0<y<1/n\}}$
• ${\displaystyle U_{n}(1,0)=\{(1,0)\}\cup \{(x,y)|\ 3/4<x<1,\ 0<y<1/n\}}$
• ${\displaystyle U_{n}(1/2,r{\sqrt {2}})=\{(x,y)|1/4<x<3/4,\ |y-r{\sqrt {2}}|<1/n\}}$

Характеристики

Космос ${\displaystyle (X,\tau )}$ удовлетворяет, что:

1. является Т_2​¹⁄2, поскольку ни одна из точек ${\displaystyle (0,1)^{2}\cap \mathbb {Q} ^{2}}$, ни ${\displaystyle (0,0)}$, ни ${\displaystyle (0,1)}$ может иметь ту же вторую координату, что и точка вида ${\displaystyle (1/2,r{\sqrt {2}})}$, за ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$.
2. не является Т₃ или же Т_3​¹⁄2, поскольку для ${\displaystyle (0,0)\in U_{n}(0,0)}$ нет открытого набора ${\displaystyle U}$ такой, что ${\displaystyle (0,0)\in U\subset {\overline {U}}\subset U_{n}(0,0)}$ поскольку ${\displaystyle {\overline {U}}}$ должен включать точку, первая координата которой ${\displaystyle 1/4}$, но такой точки нет в ${\displaystyle U_{n}(0,0)}$ для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.
3. не является Урысон, поскольку существование непрерывной функции ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ такой, что ${\displaystyle f(0,0)=0}$ и ${\displaystyle f(1,0)=1}$ следует, что прообразы открытых множеств ${\displaystyle [0,1/4)}$ и ${\displaystyle (3/4,1]}$ из ${\displaystyle [0,1]}$ с евклидовой топологией, должен быть открытым. Следовательно, эти прообразы должны содержать ${\displaystyle U_{n}(0,0)}$ и ${\displaystyle U_{m}(1,0)}$ для некоторых ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$. Тогда если ${\displaystyle r{\sqrt {2}}<\min\{1/n,1/m\}}$, могло бы случиться, что ${\displaystyle f(1/2,r{\sqrt {2}})}$ не в ${\displaystyle [0,1/4)\cap (3/4,1]=\emptyset }$. При условии, что ${\displaystyle f(1/2,r{\sqrt {2}})\notin [0,1/4)}$, то существует открытый интервал ${\displaystyle U\ni f(1/2,r{\sqrt {2}})}$ такой, что ${\displaystyle {\overline {U}}\cap [0,1/4)=\emptyset }$. Но тогда прообразы ${\displaystyle {\overline {U}}}$ и ${\displaystyle {\overline {[0,1/4)}}}$ под ${\displaystyle f}$ были бы непересекающимися замкнутыми множествами, содержащими открытые множества, содержащие ${\displaystyle (1/2,r{\sqrt {2}})}$ и ${\displaystyle (0,0)}$, соответственно. С ${\displaystyle r{\sqrt {2}}<\min\{1/n,1/m\}}$, эти замкнутые множества, содержащие ${\displaystyle U_{n}(0,0)}$ и ${\displaystyle U_{k}(1/2,r{\sqrt {2}})}$ для некоторых ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ не может быть непересекающимся. Аналогичное противоречие возникает при предположении ${\displaystyle f(1/2,r{\sqrt {2}})\notin (3/4,1]}$.
4. является полуправильный, поскольку базис окрестности, определивший топологию, состоит из регулярных открытых множеств.
5. является второй счетный, поскольку ${\displaystyle X}$ счетно, и каждая точка имеет счетный локальный базис. С другой стороны ${\displaystyle (X,\tau )}$ не является ни слабо счетно компактным, ни локально компактным.
6. является полностью отключен но нет полностью отделен, поскольку каждая из его связных компонент и ее квазикомпоненты все одиночные точки, за исключением множества ${\displaystyle \{(0,0),(1,0)\}}$ которая представляет собой двухточечную квазикомпоненту.
7. не разбросан (каждое непустое подмножество ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle X}$ содержит точку, изолированную в ${\displaystyle A}$), поскольку каждый базис плотный в себе.
8. не является нульмерный, поскольку ${\displaystyle (0,0)}$ не имеет локальной основы, состоящей из открытых и закрытых множеств. Это потому, что для ${\displaystyle x\in [0,1]}$ достаточно маленький, точки ${\displaystyle (x,1/4)}$ будут предельными точками, но не внутренними точками каждого базисного набора.

Рекомендации

• Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший, Контрпримеры в топологии. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1995. ISBN  0-486-68735-X (Дуврское издание).