Площадь Аренса - Arens square
Математика топологического пространства
| Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) | Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: "Площадь Аренса" – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Январь 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
| Тема этой статьи может не соответствовать Википедии руководство по значимости для чисел. Пожалуйста, помогите установить известность, указав надежные вторичные источники которые независимый темы и обеспечить ее подробное освещение, помимо банального упоминания. Если известность не может быть установлена, статья, вероятно, будет слился, перенаправлен, или же удалено. Найдите источники: "Площадь Аренса" – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Январь 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
(Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
В математика, то Площадь Аренса это топологическое пространство.
Определение
Квадрат Аренса - топологическое пространство
куда
![{ Displaystyle X = ((0,1) ^ {2} cap mathbb {Q} ^ {2}) cup {(0,0) } cup {(1,0) } чашка {(1/2, r { sqrt {2}}) | r in mathbb {Q}, 0 <r { sqrt {2}} <1 }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d056ab1fe47512819aaee68910f54209e1ad6037)
Топология
определяется из следующего основа. Каждая точка
дается местная основа относительно открытых множеств, унаследованных от Евклидова топология на
. Остальные пункты
даны местные базы
![{ Displaystyle U_ {n} (0,0) = {(0,0) } чашка {(x, y) | 0 <x <1/4, 0 <y <1 / n }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b02125bb4d24fa1585704738530de0da0b06cc96)
![{ Displaystyle U_ {n} (1,0) = {(1,0) } чашка {(x, y) | 3/4 <x <1, 0 <y <1 / n }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d938f3b936d62066958bfdb782367d076ffc6ff8)
![{ displaystyle U_ {n} (1/2, r { sqrt {2}}) = {(x, y) | 1/4 <x <3/4, | год { sqrt {2}} | <1 / n }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb75c13315028f4074ffffbef0901d60269b9bcb)
Характеристики
Космос
удовлетворяет, что:
- является Т21⁄2, поскольку ни одна из точек
, ни
, ни
может иметь ту же вторую координату, что и точка вида
, за
. - не является Т3 или же Т31⁄2, поскольку для
нет открытого набора
такой, что
поскольку
должен включать точку, первая координата которой
, но такой точки нет в
для любого
. - не является Урысон, поскольку существование непрерывной функции
такой, что
и
следует, что прообразы открытых множеств
и
из
с евклидовой топологией, должен быть открытым. Следовательно, эти прообразы должны содержать
и
для некоторых
. Тогда если
, могло бы случиться, что
не в
. При условии, что
, то существует открытый интервал
такой, что
. Но тогда прообразы
и
под
были бы непересекающимися замкнутыми множествами, содержащими открытые множества, содержащие
и
, соответственно. С
, эти замкнутые множества, содержащие
и
для некоторых
не может быть непересекающимся. Аналогичное противоречие возникает при предположении
. - является полуправильный, поскольку базис окрестности, определивший топологию, состоит из регулярных открытых множеств.
- является второй счетный, поскольку
счетно, и каждая точка имеет счетный локальный базис. С другой стороны
не является ни слабо счетно компактным, ни локально компактным. - является полностью отключен но нет полностью отделен, поскольку каждая из его связных компонент и ее квазикомпоненты все одиночные точки, за исключением множества
которая представляет собой двухточечную квазикомпоненту. - не разбросан (каждое непустое подмножество
из
содержит точку, изолированную в
), поскольку каждый базис плотный в себе. - не является нульмерный, поскольку
не имеет локальной основы, состоящей из открытых и закрытых множеств. Это потому, что для
достаточно маленький, точки
будут предельными точками, но не внутренними точками каждого базисного набора.
Рекомендации
- Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший, Контрпримеры в топологии. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Дуврское издание).