Асимптотически плоское пространство-время - Asymptotically flat spacetime - Wikipedia

An асимптотически плоское пространство-время это Лоренцево многообразие в котором, грубо говоря, кривизна исчезает на больших расстояниях от некоторой области, так что на больших расстояниях геометрия становится неотличимой от геометрии Пространство-время Минковского.

Хотя это понятие имеет смысл для любого лоренцевого многообразия, чаще всего оно применяется к пространство-время стоящие как решение полевых уравнений некоторых метрическая теория гравитации, особенно общая теория относительности. В этом случае мы можем сказать, что асимптотически плоское пространство-время - это такое, в котором гравитационное поле, а также любая материя или другие поля, которые могут присутствовать, становятся незначительными по величине на больших расстояниях от некоторой области. В частности, в асимптотически плоской вакуумный раствор, гравитационное поле (кривизна) становится незначительным на больших расстояниях от источника поля (обычно от какого-то изолированного массивного объекта, такого как звезда).^[1]

Интуитивное значение

Условие асимптотической плоскостности аналогично аналогичным условиям в математике и других физических теориях. Такие условия говорят, что некое физическое поле или математическая функция асимптотически исчезающий в подходящем смысле.^{[нужна цитата ]}

В общей теории относительности асимптотически плоское вакуумное решение моделирует внешнее гравитационное поле изолированного массивного объекта. Следовательно, такое пространство-время можно рассматривать как изолированная система: система, в которой внешними влияниями можно пренебречь. Действительно, физики редко представляют себе вселенную, содержащую одну звезду и ничего больше, когда они строят асимптотически плоскую модель звезды.^{[нужна цитата ]} Скорее они заинтересованы в моделировании внутренней части звезды вместе с внешней областью, в которой гравитационными эффектами из-за присутствия других объектов можно пренебречь. Поскольку типичные расстояния между астрофизическими телами, как правило, намного больше диаметра каждого тела, мы часто можем избежать этой идеализации, которая обычно помогает значительно упростить построение и анализ решений.

Формальные определения^[2]

Многообразие ${\displaystyle M}$ асимптотически прост, если он допускает конформная компактификация ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ такая, что каждая нулевая геодезическая в ${\displaystyle M}$ имеет будущие и прошлые конечные точки на границе ${\displaystyle {\tilde {M}}}$.

Поскольку последний исключает черные дыры, слабо асимптотически простое многообразие определяется как многообразие ${\displaystyle M}$ с открытым набором ${\displaystyle U\subset M}$ изометрично окрестности границы ${\displaystyle {\tilde {M}}}$, куда ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ является конформной компактификацией некоторого асимптотически простого многообразия.

Многообразие является асимптотически плоским, если оно слабо асимптотически просто и асимптотически пусто в том смысле, что его тензор Риччи обращается в нуль в окрестности границы ${\displaystyle {\tilde {M}}}$.

Некоторые примеры и непримеры

Только пространства-времени, моделирующие изолированный объект асимптотически плоские. Многие другие знакомые точные решения, такие как FRW пыль модели (которые однородные пространства-времени и поэтому в некотором смысле на противоположном конце спектра от асимптотически плоского пространства-времени) не являются.

Простым примером асимптотически плоского пространства-времени является Вакуум Шварцшильда решение. В более общем плане Керровский вакуум также асимптотически плоская. Но еще одно хорошо известное обобщение вакуума Шварцшильда - ГАЙКА вакуумная, является нет асимптотически плоская. Еще более простое обобщение: Лямбдавакуум Шварцшильда-де Ситтера решение (иногда называемое решением Кеттлера), которое моделирует сферически симметричный массивный объект, погруженный в Вселенная де Ситтера, является примером асимптотически простой пространство-время, которое не является асимптотически плоским.

С другой стороны, существуют важные большие семейства асимптотически плоских решений, такие как AF Пылесосы Weyl и их вращающихся обобщений AF Пылесосы Ernst (семейство всех стационарных осесимметричных и асимптотически плоских вакуумных решений). Эти семейства задаются пространством решений значительно упрощенного семейства дифференциальных уравнений в частных производных, и их метрические тензоры могут быть записаны (скажем, в вытянутая сфероидальная диаграмма ) в терминах явного мультипольное расширение.

Координатно-зависимое определение

Самый простой (и исторически первый) способ определения асимптотически плоского пространства-времени предполагает, что у нас есть координатная карта с координатами ${\displaystyle t,x,y,z}$, который вдали от начала координат ведет себя во многом как декартова карта в пространстве-времени Минковского в следующем смысле. Запишите метрический тензор в виде суммы (физически ненаблюдаемого) фона Минковского плюс тензора возмущений: ${\displaystyle g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}}$, и установите ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$. Тогда нам потребуется:

• ${\displaystyle \lim _{r\rightarrow \infty }h_{ab}=O(1/r)}$
• ${\displaystyle \lim _{r\rightarrow \infty }h_{ab,p}=O(1/r^{2})}$
• ${\displaystyle \lim _{r\rightarrow \infty }h_{ab,pq}=O(1/r^{3})}$

Одна из причин, по которой мы требуем, чтобы частные производные возмущения так быстро затухали, заключается в том, что эти условия, как оказывается, подразумевают, что плотность энергии гравитационного поля (в той мере, в какой это несколько туманное понятие имеет смысл в метрической теории гравитации) распадается как ${\displaystyle O(1/r^{4})}$, что было бы физически разумно. (В классический электромагнетизм энергия электромагнитного поля точечного заряда спадает как ${\displaystyle O(1/r^{4})}$.)

Бескординатное определение

Около 1962 г. Герман Бонди, Райнер К. Сакс, и другие начали изучать общее явление излучения компактного источника в общей теории относительности, что требует более гибких определений асимптотической плоскостности. В 1963 г. Роджер Пенроуз импортировано из алгебраическая геометрия существенное нововведение, теперь называемое конформная компактификация, а в 1972 г. Роберт Герох использовал это, чтобы обойти сложную проблему определения и оценки подходящих пределов при формулировании действительно бескординатного определения асимптотической плоскостности. В новом подходе, когда все правильно настроено, нужно только оценивать функции на локусе, чтобы проверить асимптотическую плоскостность.

Приложения

Понятие асимптотической плоскостности чрезвычайно полезно как техническое условие при изучении точные решения в общей теории относительности и родственные теории. На это есть несколько причин:

• Модели физических явлений в общей теории относительности (и родственных ей физических теориях) обычно возникают как решение соответствующих систем дифференциальные уравнения, и в предположении асимптотической плоскостности дает граничные условия которые помогают в настройке и даже решении возникающих краевая задача.
• В метрических теориях гравитации, таких как общая теория относительности, обычно невозможно дать общие определения важных физических понятий, таких как масса и угловой момент; однако предположение об асимптотической плоскости позволяет использовать удобные определения, которые действительно имеют смысл для асимптотически плоских решений.
• Хотя это менее очевидно, оказывается, что использование асимптотической плоскостности позволяет физикам импортировать сложные математические концепции из алгебраическая геометрия и дифференциальная топология чтобы определить и изучить важные функции, такие как горизонты событий которые могут присутствовать, а могут и не присутствовать.

Критика

Понятие асимптотической плоскости в физике гравитации подвергалось критике как по теоретическим, так и по техническим причинам.

Нет никаких сложностей в получении моделей статический сферически-симметричные звездные модели, в которых идеальная внутренняя жидкость сопоставляется по сферической поверхности, поверхности звезды, с внешней стороной вакуума, которая фактически является областью вакуума Шварцшильда. На самом деле записать можно все эти статические звездные модели таким образом, чтобы было ясно, что они существуют во множестве. Учитывая этот успех, это может стать неприятным шоком, потому что с математической точки зрения очень сложно построить вращающийся звездные модели, в которых идеальный жидкий интерьер сочетается с асимптотически плоским вакуумным экстерьером. Это наблюдение является основой наиболее выдающегося технического возражения против понятия асимптотической плоскости в общей теории относительности.

Прежде чем объяснять это возражение более подробно, представляется целесообразным кратко обсудить часто упускаемый из виду момент физических теорий в целом.

Асимптотическая плоскостность - это идеализация, и она очень полезна как в нашей нынешней теории гравитации «Золотого стандарта»: Общая теория относительности - а в более простой теории «опрокинул» ньютоновскую гравитацию. Можно было ожидать, что как последовательность (пока в основном гипотетическая) последовательность все более сложных теорий гравитации, обеспечивающих все более и более точные модели фундаментальной физики, эти теории станут монотонно более «мощными». Но эта надежда, вероятно, наивна: мы должны ожидать монотонно увеличивающегося диапазона выбора при достижении различных теоретических компромиссов, а не монотонного «улучшения». В частности, по мере того, как наши физические теории становятся все более и более точный, мы должны ожидать, что будет становиться все труднее и труднее использовать идеализации с той же легкостью, с которой мы можем ссылаться на них в более снисходительных (то есть менее строгий) теории. Это связано с тем, что более точные теории обязательно требуют установления более точных граничных условий, из-за которых может быть трудно увидеть, как установить некоторую идеализацию, знакомую по более простой теории, в более сложной теории. Действительно, следует ожидать, что некоторые идеализации, допущенные предыдущими теориями, могут вообще не допускаться последующими теориями.

Это явление может быть как благословением, так и проклятием. Например, мы только что отметили, что некоторые физики считают, что более сложные теории гравитации не допускают никакого понятия изолированной точечной частицы. В самом деле, некоторые утверждают, что общая теория относительности этого не делает, несмотря на существование Вакуум Шварцшильда решение. Если эти физики правы, мы получили бы своего рода самоотверженную интеллектуальную честность или реализм, но мы бы заплатили огромную цену, поскольку немногие идеализации оказались столь же плодотворными в физике, как понятие точечной частицы (сколь бы неприятной она ни была даже в более простых теориях).

Как бы то ни было, очень мало примеров моделирования точных решений изолированы и вращающийся объекты общей теории относительности в настоящее время известны. Фактически, список полезных решений на данный момент состоит из Пыль Нойгебауэра-Майнеля (который моделирует жестко вращающийся тонкий диск конечного радиуса пыль окружена асимптотически плоской областью вакуума) и несколько вариантов. В частности, не существует известного идеального источника жидкости, который можно было бы сопоставить с Керровский вакуум экстерьер, как и следовало ожидать, чтобы создать простейшую возможную модель вращающейся звезды. Это удивительно из-за обилия плавных внутренних поверхностей, которые соответствуют вакуумным экстерьерам Schwarzschild.

Действительно, если некоторые утверждают, что внутреннее решение, соответствующее вакууму Керра, Петров тип D, также должен иметь тип D. На самом деле существует известное идеальное жидкое решение - Жидкость Вальквиста, который относится к типу D по Петрову и имеет определенную поверхность, по которой можно попытаться сопоставить с внешним вакуумом. Однако оказывается, что жидкость Уолквиста не может быть сопоставлена ​​с любой асимптотически плоская область вакуума. В частности, вопреки наивным ожиданиям, он не может соответствовать внешнему виду вакуума Керра. Крошечное меньшинство физиков (на самом деле меньшинство из одного), похоже, считает, что общая теория относительности неприемлема, потому что она не допускает достаточно общих асимптотически плоских решений (очевидно, этот аргумент неявно предполагает, что мы решительно отвергли по крайней мере некоторые махистские принципы!). но последовательность все более сложных и общих результатов существования, кажется, противоречит этому предположению.

Общепринятую точку зрения физиков на эти вопросы, вероятно, можно резюмировать следующим образом:

• в то время как многие выдающиеся исследователи пытались использовать махистские принципы (включая Альберт Эйнштейн и Джон Арчибальд Уиллер ), статус этих принципов, в отличие от широко признанных принципов, таких как принцип сохранения количества движения, в настоящее время весьма неоднозначен,
• Общая теория относительности допускает достаточное разнообразие решений для моделирования (в принципе) любой реалистичной астрофизической ситуации, плюс (по-видимому) множество весьма нереалистичных.

Смотрите также

• Жидкий раствор
• Уравнения поля Эйнштейна

Рекомендации

• Хокинг, С. В. и Эллис, Г. Ф. Р. (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-09906-6.. Видеть Раздел 6.9 для обсуждения асимптотически простых пространств-времени.
• Вальд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности. Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-87033-5. Видеть Глава 11.
• Frauendiener, Jörg. «Конформная бесконечность». Живые обзоры в теории относительности. Архивировано из оригинал 31 декабря 2005 г.. Получено 23 января, 2004.
• Марс, М. и Сеновилла, Дж. М. М. (1998). «О построении глобальных моделей, описывающих вращающиеся тела; уникальность внешнего гравитационного поля». Буквы A по современной физике. 13 (19): 1509–1519. arXiv:gr-qc / 9806094. Bibcode:1998MPLA ... 13.1509M. Дои:10.1142 / S0217732398001583. eprint Авторы утверждают, что краевые задачи общей теории относительности, такие как задача согласования данный идеальной жидкой внутренней части до асимптотически плоской вакуумной внешней поверхности, являются сверхопределенный. Это не означает, что моделей вращающейся звезды не существует, но помогает объяснить, почему их сложно построить.
• Марк Д. Робертс, Внешнее пространство-время по отношению к звезде: против асимптотической плоскостности. Версия от 16 мая 2002 г. Робертс пытается утверждать, что внешним решением в модели вращающейся звезды должна быть идеальная жидкость или пыль, а не вакуум, а затем утверждает, что не существует асимптотически плоских вращающихся идеальная жидкость решения в общей теории относительности. (Примечание: Марк Робертс время от времени пишет в Википедии, включая эту статью.
• Марс, Марк (1998). «Решение Уолквиста-Ньюмана». Phys. Ред. D. 63 (6): 064022. arXiv:gr-qc / 0101021. Bibcode:2001ПхРвД..63ф4022М. CiteSeerX  10.1.1.339.8609. Дои:10.1103 / PhysRevD.63.064022. eprint Марс представляет вращающееся пространство-время типа Петрова D который включает в себя хорошо известную жидкость Уолквиста и электровакуумные решения Керра-Ньюмана в качестве частного случая.
• MacCallum, M.A.H .; Марс, М .; и Вера, Р. Возмущения второго порядка вращающихся тел в состоянии равновесия: задача внешнего вакуума Это краткий обзор трех ведущих экспертов современного состояния по построению точных решений, моделирующих изолированные вращающиеся тела (с асимптотически плоский вакуум снаружи).

внешняя ссылка

• Полевые уравнения Эйнштейна и их физические последствия

Примечания

1. «Физика» (PDF).
2. Таунсенд, П. К. (1997). "Черные дыры". стр. gr-qc / 9707012. arXiv:gr-qc / 9707012.