Дополненный лагранжев метод - Augmented Lagrangian method

Дополненные лагранжевые методы это определенный класс алгоритмы для решения сдержанный оптимизация проблемы. У них есть сходство с методы штрафа в том, что они заменяют задачу оптимизации с ограничениями серией задач без ограничений и добавляют штрафной член к цель; разница в том, что метод расширенного лагранжиана добавляет еще один термин, имитирующий Множитель Лагранжа. Расширенный лагранжиан связан, но не идентичен метод множителей Лагранжа.

С другой стороны, неограниченная цель - это Лагранжиан задачи с ограничениями с дополнительным штрафным членом ( увеличение).

Первоначально метод был известен как метод множителей, и много изучался в 1970 и 1980-х годах как хорошая альтернатива методам штрафов. Впервые это обсуждалось Магнус Хестенес,^[1] и по Майкл Пауэлл в 1969 г.^[2] Метод был изучен Р. Тиррелл Рокафеллар в связи с Двойственность фенхеля, особенно в отношении методов проксимальной точки, Регуляризация Моро – Иосиды, и максимальные монотонные операторы: Эти методы использовались в структурная оптимизация. Метод был также изучен Димитрий Берцекас, особенно в его книге 1982 года,^[3] вместе с расширениями, включающими неквадратичные функции регуляризации, такие как энтропийная регуляризация, что приводит к «экспоненциальному методу множителей», методу, который обрабатывает ограничения неравенства с дважды дифференцируемой расширенной функцией Лагранжа.

С 1970-х годов последовательное квадратичное программирование (SQP) и методы внутренней точки (IPM) привлекают все большее внимание, отчасти потому, что им легче использовать разреженная матрица подпрограммы из числовой программные библиотеки, и частично потому, что IPM доказали свою сложность с помощью теории самосогласованные функции. Дополненный метод Лагранжа был омоложен системами оптимизации ЛАНСЕЛОТ и AMPL, что позволило использовать методы разреженных матриц для решения кажущихся плотными, но «частично разделимых» проблем. Этот метод все еще полезен для некоторых проблем.^[4]Примерно в 2007 году произошло возрождение методов расширенного лагранжа в таких областях, как шумоподавление с полной вариацией и сжатое зондирование В частности, вариант стандартного расширенного лагранжевого метода, использующий частичные обновления (аналогичный Метод Гаусса-Зейделя для решения линейных уравнений), известный как метод переменного направления множителей или же ADMM получил некоторое внимание.

Общий метод

Допустим, мы решаем следующую ограниченную задачу:

${\displaystyle \min f(\mathbf {x} )}$

при условии

${\displaystyle c_{i}(\mathbf {x} )=0~\forall i\in I.}$

Эта проблема может быть решена в виде серии задач безусловной минимизации. Для справки сначала перечислим kй шаг метод штрафа подход:

${\displaystyle \min \Phi _{k}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )+\mu _{k}~\sum _{i\in I}~c_{i}(\mathbf {x} )^{2}.}$

Метод штрафа решает эту проблему, а затем на следующей итерации повторно решает проблему, используя большее значение ${\displaystyle \mu _{k}}$ (и используя старое решение в качестве первоначального предположения или «горячего старта»).

Расширенный лагранжевый метод использует следующую неограниченную цель:

${\displaystyle \min \Phi _{k}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )+{\frac {\mu _{k}}{2}}~\sum _{i\in I}~c_{i}(\mathbf {x} )^{2}+\sum _{i\in I}~\lambda _{i}c_{i}(\mathbf {x} )}$

и после каждой итерации помимо обновления ${\displaystyle \mu _{k}}$, переменная ${\displaystyle \lambda }$ также обновляется по правилу

${\displaystyle \lambda _{i}\leftarrow \lambda _{i}+\mu _{k}c_{i}(\mathbf {x} _{k})}$

куда ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$ является решением неограниченной задачи на k-й шаг, т.е. ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}={\text{argmin}}\Phi _{k}(\mathbf {x} )}$

Переменная ${\displaystyle \lambda }$ это оценка Множитель Лагранжа, и точность этой оценки улучшается с каждым шагом. Главное преимущество метода в том, что в отличие от метод штрафа, брать не обязательно ${\displaystyle \mu \rightarrow \infty }$ чтобы решить исходную ограниченную задачу. Вместо этого из-за наличия множителя Лагранжа ${\displaystyle \mu }$ может оставаться намного меньше, что позволяет избежать плохой физической подготовки.^[4]

Метод может быть расширен для обработки ограничений неравенства. Для обсуждения практических улучшений см.^[4]

Метод переменного направления множителей

Метод множителей с переменным направлением (ADMM) - это вариант расширенной лагранжевой схемы, в которой используются частичные обновления двойных переменных. Этот метод часто применяется для решения таких задач, как

${\displaystyle \min _{x}f(x)+g(x).}$

Это эквивалентно задаче с ограничениями

${\displaystyle \min _{x,y}f(x)+g(y),\quad {\text{subject to}}\quad x=y.}$

Хотя это изменение может показаться тривиальным, теперь проблема может быть решена с помощью методов ограниченной оптимизации (в частности, метода расширенного лагранжиана), а целевая функция отделима в Икс и у. Двойное обновление требует решения функции близости в Икс и у в то же время; метод ADMM позволяет приближенно решить эту проблему, предварительно решив для Икс с у исправлено, а затем решение для у с Икс фиксированный. Вместо того, чтобы повторять до сходимости (например, Метод Якоби ), алгоритм переходит непосредственно к обновлению двойной переменной, а затем повторяет процесс. Это не эквивалентно точной минимизации, но, что удивительно, все же можно показать, что этот метод сходится к правильному ответу (при некоторых предположениях). Из-за этого приближения алгоритм отличается от чисто расширенного лагранжевого метода.

ADMM можно рассматривать как приложение Алгоритм расщепления Дугласа-Рачфорда, а алгоритм Дугласа-Рачфорда, в свою очередь, является экземпляром Алгоритм проксимальной точки; подробности можно найти здесь.^[5] Есть несколько современных программных пакетов, которые решают Основное преследование и варианты и использовать ADMM; такие пакеты включают YALL1 (2009), SpaRSA (2009) и САЛЬСА (2009). Существуют также пакеты, которые используют ADMM для решения более общих проблем, некоторые из которых могут использовать несколько вычислительных ядер. SNAPVX (2015), parADMM (2016).

Стохастическая оптимизация

Стохастическая оптимизация рассматривает проблему минимизации функции потерь с доступом к зашумленным выборкам функции (градиента). Цель состоит в том, чтобы получить оценку оптимального параметра (минимизатор) для каждой новой выборки. ADMM изначально был пакетным методом. Однако с некоторыми изменениями его также можно использовать для стохастической оптимизации. Поскольку в стохастической настройке у нас есть доступ только к зашумленным образцам градиента, мы используем неточную аппроксимацию лагранжиана как

${\displaystyle {\hat {\mathcal {L}}}_{\rho ,k}=f_{1}(x_{k})+\langle \nabla f(x_{k},\zeta _{k+1}),x\rangle +g(y)-z^{T}(Ax+By-c)+{\frac {\rho }{2}}\Vert Ax+By-c\Vert ^{2}+{\frac {\Vert x-x_{k}\Vert ^{2}}{2\eta _{k+1}}},}$

куда ${\displaystyle \eta _{k+1}}$ - размер шага, изменяющийся во времени.^[6]

Метод множителей с переменным направлением (ADMM) - популярный метод для крупномасштабной онлайн и распределенной оптимизации.^[7] и используется во многих приложениях, например^[8][9][10]ADMM часто применяется для решения регуляризованных задач, где оптимизация функций и регуляризация могут выполняться локально, а затем координироваться глобально с помощью ограничений. Регуляризованные задачи оптимизации особенно актуальны в многомерном режиме, поскольку регуляризация является естественным механизмом преодоления некорректности. и поощрять экономию в оптимальном решении, например, разреженность и низкий ранг. Благодаря эффективности ADMM при решении регуляризованных задач, он имеет хороший потенциал для стохастической оптимизации в больших размерностях.

Альтернативные подходы

• Последовательное квадратичное программирование
• Последовательное линейное программирование
• Последовательное линейно-квадратичное программирование

Программного обеспечения

Открытый исходный код и несвободные / коммерческие реализации расширенного метода Лагранжа:

• Accord.NET (C # реализация расширенного лагранжевого оптимизатора)
• АЛГЛИБ (Реализации C # и C ++ предварительно обусловленного расширенного лагранжевого решателя)
• ПЕННОН (GPL 3, доступна коммерческая лицензия)
• ЛАНСЕЛОТ (бесплатная лицензия для внутреннего использования, платные коммерческие опции)
• МИНОС (также использует расширенный лагранжев метод для некоторых типов задач).
• Код для Apache 2.0 лицензионный ПРИЧИНА доступно в Интернете.^[11]

Смотрите также

• Штрафной метод
• Метод внутренней точки
• Барьерная функция
• Множитель Лагранжа

Рекомендации

1. Hestenes, M. R. (1969). «Множители и градиентные методы». Журнал теории оптимизации и приложений. 4 (5): 303–320. Дои:10.1007 / BF00927673. S2CID  121584579.
2. Пауэлл, М. Дж. Д. (1969). «Метод нелинейных ограничений в задачах минимизации». В Флетчер, Р. (ред.). Оптимизация. Нью-Йорк: Academic Press. С. 283–298. ISBN  0-12-260650-7.
3. Бертсекас, Дмитрий П. (1996) [1982]. Оптимизация с ограничениями и методы множителя Лагранжа. Athena Scientific.
4. Нокедал и Райт (2006), глава 17
5. Eckstein, J .; Бертсекас, Д. П. (1992). «О методе расщепления Дугласа – Рачфорда и алгоритме проксимальной точки для максимальных монотонных операторов». Математическое программирование. 55 (1–3): 293–318. CiteSeerX  10.1.1.141.6246. Дои:10.1007 / BF01581204. S2CID  15551627.
6. Ouyang, H .; Курицы.; Тран Л. и Грей А. Г. (2013). «Стохастический метод переменных направлений множителей». Материалы 30-й Международной конференции по машинному обучению: 80–88.
7. Boyd, S .; Парих, Н .; Chu, E .; Пелеато, Б. & Экштейн, Дж. (2011). «Распределенная оптимизация и статистическое обучение с помощью метода множителей переменного направления». Основы и тенденции { textregistered} в машинном обучении. 3 (1): 1–122. CiteSeerX  10.1.1.360.1664. Дои:10.1561/2200000016.
8. Wahlberg, B .; Boyd, S .; Аннергрен, М .; Ван, Ю. (2012). "Алгоритм ADMM для класса регуляризованных задач оценивания полной вариации". arXiv:1203.1828 [stat.ML ].
9. Esser, E .; Чжан, X .; Чан, Т. (2010). «Общая основа для класса первично-дуальных алгоритмов первого порядка для выпуклой оптимизации в области визуализации». SIAM Journal on Imaging Sciences. 3 (4): 1015–1046. Дои:10.1137 / 09076934X.
10. Мота, Дж. ФК; Xavier, J. MF; Aguiar, P. MQ; Пущель, М. (2012). «Распределенный ADMM для прогнозирующего управления моделью и контроля перегрузки». Решение и контроль (CDC), 51-я ежегодная конференция IEEE 2012 г. O: 5110–5115. Дои:10.1109 / CDC.2012.6426141. ISBN  978-1-4673-2066-5. S2CID  12128421.
11. "Код причины".

Библиография

• Бертсекас, Дмитрий П. (1999), Нелинейное программирование (2-е изд.), Бельмонт, Массачусетс: Афина Сайентифик, ISBN  978-1-886529-00-7
• Нокедаль, Хорхе; Райт, Стивен Дж. (2006), Численная оптимизация (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-30303-1