Среднее количество пересечений - Average crossing number

в математический предмет чего-либо теория узлов, то среднее количество пересечений из морской узел является результатом усреднения по всем направлениям количество переходов в узловой диаграмме узла, полученной проекцией на плоскость, ортогональную направлению. Среднее число пересечений часто рассматривается в контексте физическая теория узлов.

Определение

Точнее, если K является гладким узлом, то почти для каждого единичного вектора v задающий направление, ортогональная проекция на плоскость, перпендикулярную v дает диаграмма узла, и мы можем вычислить число пересечения, обозначенное п(v). Среднее число пересечений определяется как интеграл по единичной сфере:^[1]

${displaystyle {frac {1}{4pi }}int _{S^{2}}n(v),dA}$

куда dA форма площади на двумерной сфере. Интеграл имеет смысл, потому что множество направлений, в которых проекция не дает узловой диаграммы, представляет собой набор нулевой меры и п(v) при определении локально постоянна.

Альтернативная формулировка

Менее интуитивно понятное, но полезное с вычислительной точки зрения определение - это интеграл аналогично Интеграл зацепления Гаусса.

Будет дан вывод, аналогичный выводу интеграла зацепления. Позволять K быть узлом, параметризованным

${displaystyle f:S^{1}ightarrow mathbb {R} ^{3}.}$

Затем определите карту из тор к 2-сфера

${displaystyle g:S^{1} imes S^{1}ightarrow S^{2}}$

к

${displaystyle g(s,t)={frac {f(s)-f(t)}{|f(s)-f(t)|}}.}$

(Технически нужно избегать диагонали: точки, где s = т .) Мы хотим подсчитать, сколько раз точка (направление) покрывается грамм. Это будет подсчитывать, для общего направления, количество пересечений на диаграмме узла, полученное путем проецирования в этом направлении. С использованием степень карты, как в интеграле зацепления, подсчитал бы количество пересечений с знак, давая корчиться. Использовать грамм отодвинуть форма площади на S² к тору Т² = S¹ × S¹. Вместо того, чтобы интегрировать эту форму, интегрируйте ее абсолютное значение, чтобы избежать проблемы со знаком. Результирующий интеграл равен^[2]

${displaystyle {frac {1}{4pi }}int _{T^{2}}{frac {|(f'(s) imes f'(t))cdot (f(s)-f(t))|}{|(f(s)-f(t))|^{3}}},ds,dt.}$

Рекомендации

1. Диао, Эрнст 2001. Ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFDiao, _Ernst2001 (помощь)
2. О’Хара. sfn error: нет цели: CITEREFO’Hara (помощь)

дальнейшее чтение

• Бак, Грегори; Саймон, Джонатан (1999), "Толщина и число пересечений узлов", Топология и ее приложения, 91 (3): 245–257, Дои:10.1016 / S0166-8641 (97) 00211-3, МИСТЕР  1666650.
• Эрнст, С .; Пор, А. (2012), «Среднее число пересечений, общая кривизна и длина веревки толстых узлов», Журнал теории узлов и ее разветвлений, 21 (3): 1250028, 9, Дои:10.1142 / S0218216511009601, МИСТЕР  2887660.
• Дяо, Юаньань; Эрнст, Клаус (2001). «Число пересечений толстых узлов и звеньев». В Йорге Альберто Кальво; Кеннрт К. Миллет; Эрик Дж. Родон (ред.). Физические узлы: связывание, связывание и складывание геометрических объектов в R³. Современная математика. 304. Лас-Вегас, Невада. ISBN  0-8218-3200-X..
• Джун, О’Хара. Энергия узлов и конформных геоментов.. Серия K&E о узлах и всем остальном. 33. 5 Toh Tuck Link, Сингапур: World Scientific Publixhing Co. Pte. ООО ISBN  981-238-316-6..