Треугольник Безье - Bézier triangle

А Треугольник Безье это особый вид Безье поверхность, который создается (линейный, квадратичный, кубический и выше) интерполяция контрольных точек.

пТреугольник Безье-го порядка

Генерал пТреугольник Безье-го порядка имеет (п + 1)(п + 2)/2 контрольные точки α ^я β ^j γ ^k куда я, j, k неотрицательные целые числа такие, что я + j + k = п.^[1] Тогда поверхность определяется как

${\displaystyle (\alpha s+\beta t+\gamma u)^{n}=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k=n\\i,j,k\geq 0\end{smallmatrix}}{n \choose i\ j\ k}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k=n\\i,j,k\geq 0\end{smallmatrix}}{\frac {n!}{i!j!k!}}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}}$

для всех неотрицательных действительных чисел s + т + ты = 1.

С участием линейный порядок (${\textstyle n=1}$), получившийся треугольник Безье на самом деле является правильной плоской треугольник, с вершинами треугольника, равными трем контрольным точкам. А квадратичный (${\textstyle n=2}$) Треугольник Безье имеет 6 контрольных точек, расположенных по краям. В кубический (${\textstyle n=3}$) Треугольник Безье определяется 10 контрольными точками и является треугольником Безье самого низкого порядка, который имеет внутреннюю контрольную точку, а не расположенную на краях. Во всех случаях ребра треугольника будут кривыми Безье одинаковой степени.

Кубический треугольник Безье

Пример треугольника Безье с отмеченными контрольными точками

А кубический треугольник Безье это поверхность с уравнением

${\displaystyle {\begin{aligned}p(s,t,u)=(\alpha s+\beta t+\gamma u)^{3}=&\beta ^{3}\ t^{3}+3\ \alpha \beta ^{2}\ st^{2}+3\ \beta ^{2}\gamma \ t^{2}u+\\&3\ \alpha ^{2}\beta \ s^{2}t+6\ \alpha \beta \gamma \ stu+3\ \beta \gamma ^{2}\ tu^{2}+\\&\alpha ^{3}\ s^{3}+3\ \alpha ^{2}\gamma \ s^{2}u+3\ \alpha \gamma ^{2}\ su^{2}+\gamma ^{3}\ u^{3}\end{aligned}}}$

где α³, β³, γ³, α²β, αβ², β²γ, βγ², αγ², α²γ и αβγ - контрольные точки треугольника, а s, t, u (при 0 ≤ s, t, u ≤ 1 и s + t + u = 1) - барицентрические координаты внутри треугольника.^[2][1]

В качестве альтернативы кубический треугольник Безье можно выразить в более обобщенной формулировке как

${\displaystyle {\begin{aligned}p(s,t,u)&=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k=3\\i,j,k\geq 0\end{smallmatrix}}{3 \choose i\ j\ k}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k=3\\i,j,k\geq 0\end{smallmatrix}}{\frac {6}{i!j!k!}}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}\end{aligned}}}$

в соответствии с формулировкой § треугольник Безье n-го порядка.

Углами треугольника являются точки α³, β³ и γ³. Ребра треугольника сами по себе Кривые Безье, с теми же контрольными точками, что и треугольник Безье.

Удалив член γu, получится регулярная кривая Безье. Кроме того, хотя это и не очень удобно для отображения на экране физического компьютера, добавление дополнительных терминов позволяет тетраэдр или Безье многогранник полученные результаты.

Из-за характера уравнения весь треугольник будет находиться внутри объема, окруженного контрольными точками, и аффинные преобразования контрольных точек точно так же правильно преобразует весь треугольник.

Деление кубического треугольника Безье пополам

Преимущество треугольников Безье в компьютерной графике состоит в том, что для разделения треугольника Безье на два отдельных треугольника Безье требуется только сложение и деление на два, а не плавающая точка арифметика. Это означает, что, хотя треугольники Безье гладкие, их можно легко аппроксимировать с помощью правильных треугольников следующим образом: рекурсивно разделив треугольник пополам, пока получившиеся треугольники не будут считаться достаточно маленькими.

Далее вычисляются новые контрольные точки для половины полного треугольника Безье с углом α.³, угол на полпути вдоль кривой Безье между α³ и β³, а третий угол γ³.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}{'}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\beta ^{3}}}{'}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \beta \gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}}{'}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 4}&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 8}&{3 \over 8}&{3 \over 8}&{1 \over 8}&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \over 4}&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }}\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}}\\{\boldsymbol {\beta ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }}\\{\boldsymbol {\alpha \beta \gamma }}\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }}\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}}\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}}\\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}}\end{pmatrix}}}$

эквивалентно, используя сложение и деление только на два,

${\displaystyle {\begin{matrix}&&\beta ^{3}:=(\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3})/2\\&\alpha \beta ^{2}:=(\alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2})/2&\beta ^{3}:=(\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3})/2\\\alpha ^{2}\beta :=(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}\beta )/2&\alpha \beta ^{2}:=(\alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2})/2&\beta ^{3}:=(\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3})/2\\\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&\beta ^{2}\gamma :=(\alpha \beta \gamma +\beta ^{2}\gamma )/2\\\alpha \beta \gamma :=(\alpha ^{2}\gamma +\alpha \beta \gamma )/2&\beta ^{2}\gamma :=(\alpha \beta \gamma +\beta ^{2}\gamma )/2\\\end{matrix}}}$

${\displaystyle \beta \gamma ^{2}:=(\alpha \gamma ^{2}+\beta \gamma ^{2})/2}$

где: = означает замену вектора слева вектором справа.

Обратите внимание, что деление треугольника Безье пополам аналогично делению пополам кривых Безье всех порядков до порядка треугольника Безье.

Смотрите также

• Кривая Безье
• Безье поверхность (биквадратные пятна - это прямоугольники Безье)
• Поверхность

Рекомендации

1. Фарин, Джеральд (2002), Кривые и поверхности для компьютерного геометрического проектирования (5-е изд.), Академическая пресса Книги по науке и технологиям, ISBN  978-1-55860-737-8
2. 3D-рендеринг поверхности в Postscript

внешняя ссылка

• Квадратичные треугольники Безье как примитивы рисования Содержит дополнительную информацию о плоских и квадратичных треугольниках Безье.
• Статья об использовании кубических пятен Безье в трассировке лучей (на немецком языке)
• "Треугольные пятна Безье с отслеживанием лучей". CiteSeerX  10.1.1.18.5646. Отсутствует или пусто | url = (Помогите)
• "Треугольная вырезка по Безье". CiteSeerX  10.1.1.62.8062. Отсутствует или пусто | url = (Помогите)
• Изогнутые треугольники PN (особый вид кубических треугольников Безье)
• Нормальная интерполяция с учетом формы для закрашивания криволинейной поверхности из многогранного приближения
• Изогнутые треугольники на основе пиксельных шейдеров
• «Построение поверхности с ускорением, близким к наименьшему квадрату, на основе нормалей вершин на треугольных сетках». CiteSeerX  10.1.1.6.2521. Отсутствует или пусто | url = (Помогите)