Проблема со спичечным коробком Банаха - Banachs matchbox problem - Wikipedia

Матч проблема Банаха это классическая проблема в вероятность приписывается Стефан Банах. Вальщик ^[1] говорит, что проблема возникла из-за юмористической ссылки на привычку Банаха курить в речи, посвященной ему Хьюго Штайнхаус, но что это не Банах поставил проблему или дал ответ.

Предположим, математик всегда носит с собой два спичечных коробки: один в левом кармане, а другой - в правом. Каждый раз, когда ему нужна спичка, он с одинаковой вероятностью будет брать ее из любого кармана. Предположим, он полез в карман и впервые обнаруживает, что выбранный ящик пуст. Если предположить, что каждый из спичечных коробок изначально содержал ${\displaystyle N}$ совпадений, какова вероятность того, что ${\displaystyle k}$ спички в другом ящике?

Решение

Без ограничения общности рассмотрим случай, когда спичечный коробок в его правом кармане имеет неограниченное количество спичек, и пусть ${\displaystyle M}$ быть количеством совпадений, удаленных из этого, до того, как левое окажется пустым. Когда обнаруживается, что левый карман пуст, мужчина выбрал этот карман. ${\displaystyle (N+1)}$ раз. потом ${\displaystyle M}$ количество успехов перед ${\displaystyle (N+1)}$ неудач в испытаниях Бернулли с ${\displaystyle p=1/2}$, который имеет отрицательное биномиальное распределение и поэтому

${\displaystyle P[M=m]={\binom {N+m}{m}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{N+1+m}}$.

Возвращаясь к исходной задаче, мы видим, что вероятность того, что левый карман окажется пустым, равна ${\displaystyle P[M<N+1]}$ что равно ${\displaystyle 1/2}$ потому что оба одинаково вероятны. Мы видим, что число ${\displaystyle K}$ спичек, оставшихся в другом кармане, составляет

${\displaystyle P[K=k]=P[M=N-k|M<N+1]=2P[M=N-k]={\binom {2N-k}{N-k}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2N-k}}$.

Ожидаемое распределение примерно ${\displaystyle 2{\sqrt {N/\pi }}-1}$. (Это показано с помощью Приближение Стирлинга.^[2]) Итак, начиная с ящиков с ${\displaystyle N=40}$ совпадений, ожидаемое количество совпадений во втором поле равно ${\displaystyle 6}$.

Распределение вероятности наличия k спички, оставшиеся в другом кармане.

Рекомендации

1. Феллер, Уильям, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, третье издание, Wiley, 1968, глава VI, раздел 8
2. Feller, стр. 238.

внешняя ссылка

• Java-апплет