Барьерный конус - Barrier cone

В математика в частности функциональный анализ, то барьерный конус это конус связанный с любым непустым подмножеством Банахово пространство. Это тесно связано с понятиями вспомогательные функции и полярные наборы.

Определение

Позволять Икс - банахово пространство и пусть K быть непустым подмножеством Икс. В барьерный конус из K это подмножество б(K) из Икс^∗, то непрерывное двойное пространство из Икс, определяется

${\displaystyle b(K):=\left\{\ell \in X^{\ast }\,\left|\,\sup _{x\in K}\langle \ell ,x\rangle <+\infty \right.\right\}.}$

Связанные понятия

Функция

${\displaystyle \sigma _{K}\colon \ell \mapsto \sup _{x\in K}\langle \ell ,x\rangle ,}$

определены для каждого непрерывный линейный функционал ℓ на Икс, известен как функция поддержки из набора K; таким образом, барьерный конус K в точности набор непрерывных линейных функционалов ℓ для которого σ_K(ℓ) конечно.

Множество непрерывных линейных функционалов ℓ для которого σ_K(ℓ) ≤ 1 называется полярный набор из K. Множество непрерывных линейных функционалов ℓ для которого σ_K(ℓ) ≤ 0 известен как (отрицательный) полярный конус из K. Ясно, что и полярный набор, и отрицательный полярный конус являются подмножествами барьерного конуса.

использованная литература

• Обен, Жан-Пьер; Франковская, Элен (2009). Установленный анализ (Перепечатка изд. 1990 г.). Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston Inc., стр. Xx + 461. ISBN  978-0-8176-4847-3. Г-Н  2458436.