Функция поддержки - Support function

В математика, то функция поддержки часА непустого закрыто выпуклый набор А в описывает (подписанные) расстояния поддерживающие гиперплоскости из А от происхождения. Функция поддержки - это выпуклая функция на .Любое непустое замкнутое выпуклое множество. А однозначно определяется часА. Кроме того, функция поддержки как функция набора А, совместим со многими естественными геометрическими операциями, такими как масштабирование, перенос, поворот и Дополнение Минковского. Благодаря этим свойствам опорная функция является одним из центральных базовых понятий выпуклой геометрии.

Определение

Функция поддержки непустого замкнутого выпуклого множества А в дан кем-то

; видеть[1][2].[3] Его интерпретация наиболее интуитивна, когда Икс является единичным вектором: по определению А содержится в замкнутом полупространстве

и есть хотя бы одна точка А на границе

этого полупространства. Гиперплоскость ЧАС(Икс) поэтому называется поддерживающая гиперплоскость с внешний вид (или же внешний) единичный вектор нормали Икс.Слово внешний вид здесь важно, так как ориентация Икс играет роль, набор ЧАС(Икс) в целом отличается от ЧАС(-Икс).Сейчас же часА это (знаковое) расстояние ЧАС(Икс) от происхождения.

Примеры

Поддерживающая функция синглтона А={а} является .

Опорная функция евклидова единичного шара B1 является .

Если А это отрезок линии через начало координат с конечными точками -а и а тогда .

Характеристики

В зависимости от Икс

Опорная функция компактный непустое выпуклое множество вещественнозначно и непрерывно, но если множество замкнуто и неограничено, его опорная функция расширяется с вещественными значениями (принимает значение ). Поскольку любое непустое замкнутое выпуклое множество является пересечением своих опорных полупространств, функция часА определяет А однозначно. Это может быть использовано для аналитического описания некоторых геометрических свойств выпуклых множеств. Например, набор А точечно симметрично относительно начала координат тогда и только тогда, когда часАявляется даже функция.

В общем, функция поддержки не дифференцируема. Однако производные по направлениям существуют и дают опорные функции опорных множеств. Если А является компактный и выпуклые, и часА'(ты;Икс) обозначает производную по направлению отчасА в ты0 в направлении Икс,у нас есть

Здесь ЧАС(ты) - опорная гиперплоскость А с вектором внешней нормали ты, определенное выше. Если АЧАС(ты) является одноэлементным {у}, скажем, следует, что опорная функция дифференцируема в ты и его градиент совпадает с у. Наоборот, если часА дифференцируема в ты, тогда АЧАС(ты) является одноэлементным. Следовательно часА дифференцируема во всех точках ты0 если и только если А является строго выпуклый (граница А не содержит линейных сегментов).

Непосредственно из его определения следует, что опорная функция положительно однородна:

и подаддитив:

Следует, что часА это выпуклая функция. В выпуклой геометрии очень важно, чтобы эти свойства характеризовали опорные функции: любую положительную однородную, выпуклую, вещественнозначную функцию на - опорная функция непустого компактного выпуклого множества. Известно несколько доказательств,[3]один использует тот факт, что Преобразование Лежандра положительной однородной выпуклой вещественнозначной функции является (выпуклой) индикаторной функцией компактного выпуклого множества.

Многие авторы ограничивают опорную функцию евклидовой единичной сферой и рассматривают ее как функцию на Sп-1. Свойство однородности показывает, что это ограничение определяет опорную функцию на , как определено выше.

В зависимости от А

Функции поддержки расширенного или переведенного набора тесно связаны с исходным набором. А:

и

Последний обобщает на

куда А + B обозначает Сумма Минковского:

В Расстояние Хаусдорфа d ЧАС(А, B) двух непустых компактных выпуклых множеств А и B можно выразить через вспомогательные функции,

где в правой части единая норма на единичной сфере.

Свойства опорной функции в зависимости от множества А иногда резюмируют, говоря, что :А час А отображает семейство непустых компактных выпуклых множеств в конус всех действительных непрерывных функций на сфере, положительное однородное расширение которых выпукло. Слегка злоупотребляя терминологией, иногда называют линейный, поскольку он уважает сложение Минковского, хотя он определен не на линейном пространстве, а скорее на (абстрактном) выпуклом конусе непустых компактных выпуклых множеств. Отображение является изометрией между этим конусом, наделенным метрикой Хаусдорфа, и подконусом семейства непрерывных функций на Sп-1 с единой нормой.

Варианты

В отличие от вышеизложенного, опорные функции иногда определяются на границе А а не на Sп-1, в предположении, что в каждой граничной точке существует единственная внешняя единичная нормаль. Для определения выпуклость не требуется. регулярная поверхность, M, с единичный вектор нормали, N, определенная всюду на ее поверхности, тогда опорная функция определяется как

.

Другими словами, для любого , эта функция поддержки дает знаковое расстояние уникальной гиперплоскости, которая касается M в Икс.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Т. Боннесен, В. Фенчель, Theorie der konvexen Körper, Юлиус Шпрингер, Берлин, 1934. Английский перевод: Теория выпуклых тел, BCS Associates, Москва, ИД, 1987.
  2. ^ Р. Дж. Гарднер, Геометрическая томография, Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк, 1995 г. Второе издание: 2006 г.
  3. ^ а б Р. Шнайдер, Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993.