Уравнение Бассета – Буссинеска – Озеена - Basset–Boussinesq–Oseen equation

В динамика жидкостей, то Уравнение Бассета – Буссинеска – Озеена (Уравнение BBO) описывает движение - и силы, действующие на - малую частицу в неустойчивый поток на низком уровне Числа Рейнольдса. Уравнение названо в честь Жозеф Валентин Буссинеск, Альфред Барнард Бассет и Карл Вильгельм Озеен.

Формулировка

Уравнение BBO в формулировке, заданной как Чжу и Фань (1998), стр. 18–27) и Су (1990), относится к небольшой сферической частице диаметром ${\displaystyle d_{p}}$ имея в виду плотность ${\displaystyle \rho _{p}}$ чей центр расположен в ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{p}(t)}$. Частица движется с Лагранжева скорость ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}_{p}(t)={\text{d}}{\boldsymbol {X}}_{p}/{\text{d}}t}$ в жидкости плотности ${\displaystyle \rho _{f}}$, динамическая вязкость ${\displaystyle \mu }$ и Эйлерова скорость поле ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{f}({\boldsymbol {x}},t)}$. Поле скоростей жидкости, окружающее частицу, состоит из невозмущенного локального эйлерова поля скоростей ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{f}}$ плюс поле возмущения, создаваемое присутствием частицы и ее движением относительно невозмущенного поля ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{f}.}$ Для очень малого диаметра частицы последнее является локально константой, значение которой определяется невозмущенным эйлеровым полем, вычисленным в месте расположения центра частицы, ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}_{f}(t)={\boldsymbol {u}}_{f}({\boldsymbol {X}}_{p}(t),t)}$. Малый размер частиц также означает, что возмущенный поток может быть обнаружен в пределе очень малого числа Рейнольдса, что приводит к силе сопротивления, определяемой выражением Сопротивление Стокса. Неустойчивость потока относительно частицы приводит к силовым вкладам со стороны добавленная масса и Бассет сила. Уравнение BBO гласит:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{6}}\rho _{p}d_{p}^{3}{\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {U}}_{p}}{{\text{d}}t}}&=\underbrace {3\pi \mu d_{p}\left({\boldsymbol {U}}_{f}-{\boldsymbol {U}}_{p}\right)} _{\text{term 1}}-\underbrace {{\frac {\pi }{6}}d_{p}^{3}{\boldsymbol {\nabla }}p} _{\text{term 2}}+\underbrace {{\frac {\pi }{12}}\rho _{f}d_{p}^{3}\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\boldsymbol {U}}_{f}-{\boldsymbol {U}}_{p}\right)} _{\text{term 3}}\\&+\underbrace {{\frac {3}{2}}d_{p}^{2}{\sqrt {\pi \rho _{f}\mu }}\int _{t_{_{0}}}^{t}{\frac {1}{\sqrt {t-\tau }}}\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}\tau }}\left({\boldsymbol {U}}_{f}-{\boldsymbol {U}}_{p}\right)\,{\text{d}}\tau } _{\text{term 4}}+\underbrace {\sum _{k}{\boldsymbol {F}}_{k}} _{\text{term 5}}.\end{aligned}}}$

Это Второй закон Ньютона, в которой левая сторона это скорость изменения частицы линейный импульс, а Правая сторона это сумма силы действуя на частицу. Члены в правой части соответственно:^[1]

1. Сопротивление Стокса,
2. Сила Фруда – Крылова из-за градиент давления в невозмущенном потоке, с ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ в градиент оператор и ${\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)}$ невозмущенное поле давления,
3. добавленная масса,
4. Бассет сила и
5. другие силы, действующие на частицу, такие как сила тяжести, так далее.

Число Рейнольдса частицы ${\displaystyle R_{e}:}$

${\displaystyle R_{e}={\frac {\max \left\{\left|{\boldsymbol {U}}_{p}-{\boldsymbol {U}}_{f}\right|\right\}\,d_{p}}{\mu /\rho _{f}}}}$

должно быть меньше единицы, ${\displaystyle R_{e}<1}$, чтобы уравнение BBO давало адекватное представление о силах, действующих на частицу.^[2]

Также Чжу и Фань (1998), стр. 18–27) предлагают оценивать градиент давления по Уравнения Навье – Стокса:

${\displaystyle -{\boldsymbol {\nabla }}p=\rho _{f}{\frac {{\text{D}}{\boldsymbol {u}}_{f}}{{\text{D}}t}}-\mu \nabla ^{2}{\boldsymbol {u}}_{f},}$

с ${\displaystyle {\text{D}}{\boldsymbol {u}}_{f}/{\text{D}}t}$ в материальная производная из ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{f}.}$ Отметим, что в уравнениях Навье – Стокса ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{f}({\boldsymbol {x}},t)}$ - поле скорости жидкости, тогда как, как указано выше, в уравнении BBO ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}_{f}}$ - скорость невозмущенного потока, наблюдаемого наблюдателем, движущимся вместе с частицей. Таким образом, даже в установившемся эйлеровом потоке ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{f}}$ зависит от времени, если эйлерово поле неоднородно.

Примечания

1. Чжу и Фань (1998), стр. 18–27).
2. Crowe, C.T .; Trout, T.R .; Чанг, Дж. (1995). «Глава XIX - Взаимодействие частиц с вихрями». В зеленом, Шелдон I. (ред.). Жидкие вихри. Springer. п. 831. ISBN  9780792333760.

Рекомендации

• Чжу, Чао; Фан, Лян-Ши (1998). «Глава 18 - Многофазный поток: газ / твердое тело». В Джонсоне, Ричард В. (ред.). Справочник по гидродинамике. Springer. ISBN  9783540646129.
• Су, Шао Л. (1990). Многофазная гидродинамика. Издательство Ashgate. ISBN  9780566090332.