Последовательность Беренда - Behrend sequence

В теория чисел, а Последовательность Беренда является целочисленная последовательность кратные включают почти все целые числа. Последовательности названы в честь Феликс Беренд.

Определение

Если ${\displaystyle A}$ последовательность целых чисел больше единицы, и если ${\displaystyle M(A)}$ обозначает набор положительных целых кратных членов ${\displaystyle A}$, тогда ${\displaystyle A}$ является последовательностью Беренда, если ${\displaystyle M(A)}$ имеет естественная плотность один. Это означает, что пропорция целых чисел от 1 до ${\displaystyle n}$ которые принадлежат ${\displaystyle M(A)}$ сходится, в пределе больших ${\displaystyle n}$, к одному.

Примеры

В простые числа образуют последовательность Беренда, потому что каждое целое число больше единицы кратно простому числу. В более общем смысле подпоследовательность ${\displaystyle A}$ простых чисел образует последовательность Беренда тогда и только тогда, когда сумма взаимные из ${\displaystyle A}$ расходится.^[1]

В полупростые, произведение двух простых чисел, также образуют последовательность Беренда. Единственные целые числа, не кратные полупростому, - это основные силы. Но поскольку простые степени имеют плотность ноль, их дополнение, кратные полупростым числам, имеет плотность один.^[1]

История

Проблема характеристики этих последовательностей была описана как "очень трудная". Пол Эрдёш в 1979 г.^[2]

Эти последовательности были названы Ричардом Р. Холлом в 1990 году «последовательностями Беренда» с использованием определения логарифмическая плотность вместо естественной плотности.^[3] Зал выбрал свое название в честь Феликс Беренд, который доказал, что для последовательности Беренда ${\displaystyle A}$, сумма взаимные из ${\displaystyle A}$ должны расходиться.^[4] Позже Холл и Джеральд Тененбаум использовали естественную плотность для определения последовательностей Беренда вместо логарифмической плотности.^[5] Это изменение в определениях не имеет значения, какие последовательности являются последовательностями Беренда, потому что Теорема Давенпорта – Эрдеша показывает, что для множеств кратных значений, имеющих единицу естественной плотности и единицу логарифмической плотности, эквивалентны.^[6]

Производные последовательности

Когда ${\displaystyle A}$ является последовательностью Беренда, можно получить другую последовательность Беренда, исключив из ${\displaystyle A}$ любое конечное число элементов.^[5]

Каждую последовательность Беренда можно разложить на несвязный союз бесконечного числа последовательностей Беренда.^[1]

Рекомендации

1. Ружа, И.З.; Тененбаум, Г. (1996), "Заметка о последовательностях Беренда", Acta Mathematica Hungarica, 72 (4): 327–337, Дои:10.1007 / BF00114546, МИСТЕР  1406402
2. Эрдеш, Пол (1979), «Некоторые нестандартные задачи теории чисел» (PDF), Journées Arithmétiques de Luminy (Colloq. Internat. CNRS, Centre Univ. Luminy, Luminy, 1978), Astérisque, 61: 73–82, МИСТЕР  0556666
3. Холл, Р. Р. (1990), «Множества кратных и последовательности Беренда», в Бейкер, А.; Боллобаш, Б.; Хайнал, А. (ред.), Дань Павлу Эрдёшу, Cambridge University Press, стр. 249–258, МИСТЕР  1117017
4. Беренд, Ф.А. (1948), «Обобщение неравенства Хайльбронна и Рорбаха», Бюллетень Американского математического общества, 54: 681–684, Дои:10.1090 / S0002-9904-1948-09056-5, МИСТЕР  0026081
5. Hall, R. R .; Тененбаум, Г. (1992), «О последовательностях Беренда», Математические труды Кембриджского философского общества, 112 (3): 467–482, Дои:10.1017 / S0305004100071140, МИСТЕР  1177995
6. Тененбаум, Жеральд (2015), Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел, Аспирантура по математике, 163 (3-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 422, ISBN  978-0-8218-9854-3, МИСТЕР  3363366